第三章 一次函数
§ 3·3根据已知条件确定一个一次函数在一次函数 y = kx + b 里,如果我们知道了 k 和 b 的值,那末这个函数就完全确定了。要确定 k 和 b 的值就需要有两个条件。下面我们举例说明怎样根据已知条件来确定一个一次函数.
例1.已知函数 y = kx + b 的图象通过两点
A (1,2)和 B (-1,1).
求这个函数,并画出它的图象。
分析 这里就是要求出 k 和 b 的值。因为 A 点在直线上,所以它的坐标 x =1, y =2应当适合 y = kx + b 。这样,把这个值代入等式可以得到关于 k 和 b 的一个方程。同样把 x =-1, y =1代入等式可以得出另一个关于 k 和 b 的方程。解这两个方程所组成的方程组就可以了。
【解】因为A(1,2)在直线上,所以
2=k·1+ b . (1)
因为 B (-1,1)在直线上,所以
1=k(-1)+b. (2)
解这两个方程所组成的方程组,得
所以所求的直线是
图象如图3.14。
例2.按照下面的条件确定一个一次函数 y=f ( x ):
(1) f (0)=3, f (1)=-1;
*(2)函数的图象是过点(-1,1)并且倾角是135°的一条直线。
【解】设 f (x)= kx + b .
(1)根据已知条件,可得方程组
解这个方程组得 b =3, k=-4。
所以所求的函数是 y =-4x+3.
*(2)根据已知条件,有
k = tan135°=-1.
所以所求的函数有
y =- x + b
的形式。因为点(-1,1)在这条直线上,所以
1=-(-1)+b.
解这个方程,得 b =0.
所以所求的函数是 y =-x。
习题3.31.已知函数 y = kx + b 的图象通过 A , B 两点。确定这个函数,并且画出它的图象:
2.按照下面的条件确定直线 y =kx+b:
(1)斜率是-3, y 轴上的截距是½;
*(2)倾角是45°, y 轴上的截距是-1;
(3)斜率是½,并且过点(3,0);
(4)斜率是½,并且过点(0,3);
*(5)倾角是60°,并且过点(0,2);
*(6)倾角是60°,并且过点(2,0)。
下期预告
§3.4方程 ax + by + c =0的图象
在§3·2里,我们已经知道函数 y = kx + b ( k ≠ 0 )的图象是一条直线。事实上,函数 y = kx + b 也可以看做是关于x和 y 的一次方程
kx- y + b =0.
这样,我们也就可以知道二元一次方程
kx- y + b =0
的图象是一条直线.
现在,我们来研究一般的情况,证明任何一个二元一次方程
ax + by + c =0( a , b 不同时为零)
的图象都是直线.
......
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