复分析（Complex Analysis）是数学中研究复变函数的分支学科。复变函数是指定义在复平面上的函数，即将复数域映射到复数域的函数。复分析涉及到复变函数的性质、解析函数、全纯函数、调和函数、亚纯函数、级数、积分、微分方程、调和分析等概念和方法。

简单说，复杂分析是研究具有复数值函数的微积分。正如列夫·鲍里索夫所说，复分析的基本理论可能是数学中最美丽的部分之一。复数值函数非常严谨，因此你想要的所有结果都可以轻松得到实现。

我们可以先从实值函数的情况开始。如果你给我一个任意可微的实值函数 f(x)，我几乎无法对它做出任何描述。我无法告诉你它增长的速度有多快，也无法告诉你它有多少个零点。更重要的是，我无法确定它是否有泰勒展开式，即使它确实有泰勒展开式，我也无法确定该展开式是否收敛于原函数。这里有一个泰勒展开式不收敛于原函数的例子；你可以看到一个连续函数在任何地方都不可微的情况——它的积分是可微的，但肯定没有泰勒展开式。

这是一个魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass functions），下面是它的函数图像，x的范围是（-1,1）

这看起来像噪音一样处处尖尖的。我们把这幅图沿x方向放大100倍看看会怎样，这时x的范围是（-0.01，0.01），它的图像是这样的：

这与前一个图看起来几乎是一样的，是不是很令人惊讶。我们继续放大，x的范围区（0.00001，0.00001），图像变成

你可能已经猜到了，这并非偶然。威尔斯特斯拉函数函数放大任意倍都会显得“尖尖的”。事实上，它是第一个处处连续，处处不可微的函数的例子。

然而，我们取一个接受一个复数并返回一个复数的函数 f(z)，然后考虑它的复导数，定义为：

然后我们会得到截然不同的函数行为。具体来说，如果函数 f(z) 在某个邻域内是复可导的（也称为全纯），那么它在该邻域内是无限可导的，并且其泰勒展开式（因此是有意义的）必须收敛于该函数本身！

这非常有用，因为在物理和工程学中考虑的大多数函数——当推广到复数域时——都是全纯的，这意味着我们可以运用复分析来研究这些函数。而复分析的威力是不容小觑的！复分析可以得出许多奇妙的结果，大大简化了计算各种积分和级数的方法。此外，复分析还提供了许多简单的方法来建立各种恒等式，因为实际上，如果在某个区域内指定一个全纯函数，那么它自动确定了该函数在该区域内的任何其他点的值（在一个单连通区域内——本质上是没有“洞”的连通区域）。因此，证明两个全纯函数之间的简单关系的一种策略是，在某些易于证明的集合上证明它们相等，那么它们在其他所有点上都相等。

但这还不是全部。另一个描述全纯函数的方式是它们是平面上保持方向和角度的平滑函数（只要导数不为0）。也就是说，全纯函数可能不会保持点之间的距离（不变），但是如果你观察曲线在变换前后的角度是否相同，那么它们将保持不变。例如，以下是使用全纯函数进行的圆盘的平滑变形示例：

实际上，我们总是可以找到这样的映射。黎曼映射定理（Riemann mapping theorem）明确说明，如果给出两个复平面上的区域（开放区域），这些区域是单连通且不是整个复平面，那么就可以找到一个定义在第一个区域上的可逆全纯函数，它的图像是第二个区域。这也是一个非常有用的结果，它意味着我们可以在容易处理的区域中定义流线等内容，然后使用全纯函数将其映射到我们真正需要的区域中。例如，拉普拉斯方程的解可以通过这种方式从一个域转移到另一个域。下面是一个简单的示例，说明如何将一组正交曲线从一个区域转移到另一个区域。函数

而

学习过双曲几何的学生无疑会认识到，上图不过是从双曲平面的庞加莱圆盘模型转换到庞加莱半平面模型的一个说明。这说明了复分析的另一个重要方面，它是一个非常强大的几何工具。即使只考虑下面的基本函数，也能得到大量令人着迷的理论，

我们考虑对复平面的变换。可能最简单的变换是形如z↦az+b的变换，其中a、b是不全为零的复数。稍加思考就会发现，这些变换是由以下形式的变换组合而成的：

1.旋转：

2.平移：

3.缩放：

换句话说，这些就是相似点，将欧几里得平面上的物体变换成与之相似的物体（比如相似三角形）。现在，如果我加入另一种类型的变换，也就是逆变换呢：

首先，我要让你们检验一下这是否给出了线性分式变换——也就是，所有下面这种形式的变换：

这里有两个部分：第一，你需要证明任何像这样的映射都可以写成相似和给定反转的组合。如果c=0，这就很简单。我们假设c≠0。第二，你需要证明任意两个线性分数变换的复合变换本身就是一个线性分数变换。这只需要一些简单的代数运算。

其次，我们必须确定线性分式变换如何作用于平面。它们的作用是非平凡的（non-trivial）。以下是一个示例，展示了映射z↦1/z对方格平面的作用：

如果我们将扩展复平面定义为复平面加上一个无穷远点，那么z↦1/z的作用是将0和∞互换。

然而，还有另外一件有趣的事情发生了 - 原始网格中的所有线都变成了直线（如果它们碰巧穿过原点）或圆（如果它们没有穿过原点）。如果我们将线视为通过“无穷远点”的圆，则 z↦1/z 将圆映射为圆。

更一般地说，由于相似变换确实将圆映射为圆，因此所有线性分式变换

都将圆映射为圆。事实上，线性分式变换具有许多良好的性质：

如前所述，它们将圆映射为圆。

它们保持角度不变（请注意，在上图中，所有正交相交点在映射后仍然是正交的）。

它们是可逆的。

存在唯一的线性分式变换，将任意三个不同的点 z1，z2，z3 映射到任意另外三个不同的点 z1'，z2'，z3'。

这些事实共同意味着，有许多几何问题一开始看起来可能很难，但如果你了解线性分式变换，它们实际上相当容易解决。以下是一个例子：假设我有三个相互切的圆：

有多少个圆与这三个圆都相切？从直觉上看，似乎应该有两个，但如果你只用欧几里得几何或笛卡尔几何来证明这一点是很困难的。

然而，思考一下线性分式变换的作用，很明显，无论我们做什么样的变换，与三个给定圆相切的圆的数量都将保持不变（因为圆仍将被映射为圆，这些变换是可逆的，如果两个圆在映射前相切，它们在映射后仍将相切）。因此，我们可以选择一些合适的线性分式变换，将这个问题转换为更易解决的形式。

具体来说，我们假设z1、z2、z3是三个相切的圆的接触点（在图中用红色标出）。我们将z1映射为-i，将z2映射为i，将z3映射为无穷远。这样会发生什么呢？

包含z3的两个圆将被映射为直线（它们包含无穷远点）。此外，它们必须是平行线，因为它们在其他任何地方都不相交。其中一条线经过i，另一条经过-i。由于最后一个圆必须在这两个点处与这两条线相切，我们可以看出，实际上图表现为这样：

蓝色圆表示与这三个圆都相切的两个圆（正如预期的那样）。现在可以完全自然地看出，这样的圆必须恰好有两个。