数学基础的危机在数学家圈子里面是一件远近闻名的事情，而且如雷贯耳。大家都认为，一个受到良好训练的数学家应该多少知道一点关于三种观点的事情，就是“逻辑主义”、“形式主义”和“直觉主义”，还有关于数学知识的状况，应该知道哥德尔的不完全性定理告诉了我们什么。专业的数学家关于这类主题时常各有主见：或者认为关于基础的讨论没有意义，或者对于数学持有某种形式的修正主义观点，认为这是一个原则问题，或者是很吸引人的事。但是辩论历史的真实的概要则不甚为人所知，与之相关的更微妙的哲学论题时常被忽略了。

数学基础的危机通常被理解为1920年代发生的一件局部性的事情，是两个"学派"之间的激烈争论。一派是希尔伯特领导的"经典"数学的拥护者；另一派则是他们的批评者，由布劳威尔领导，则主张对已为人所接受的教义作强烈的修正。但是，在我看来，数学基础的危机还有第二个很重要的意义，"危机"是一个漫长的全局的过程，与现代数学的兴起以及它所创造的哲学的方法论问题是无法分辨开来的。

然而，在这个比较长的过程中，我们仍然可以挑选出一些值得注意的时间区间。 在1870年左右，关于非欧几何的可接受性问题、关于复分析的适当的基础问题，甚至关于实数的问题，都有很多的讨论。到了20世纪早期，又有关于集合论、连续统概念、逻辑的作用以及公理方法与直觉的作用的对抗都有过辩论。到了1925年则发生了本质意义的危机，这时，这些辩论里的主要思想都发展了，变成了详尽的数学研究的主题。到了1930年代，哥德尔证明了他的不完全性定理，如果不放弃一些自己热爱的信念，是不能消化这个结果的。

有证据表明，希尔伯特在1899年认可了一种观点，这种观点后来被称为"逻辑主义"。逻辑主义就是这样一个论点：数学的基本概念可以用逻辑概念来定义，而数学的关键的原理仅需要逻辑原理就可以推导出来。

久而久之，这个概念变得不那么清楚了，似乎是基于逻辑理论的范围有多大，人们具有的只是模糊而且不成熟的概念。但是从历史上说。逻辑主义是对于现代数学兴起的一种心智上很美妙的反应，特别是对于集合论的途径和方法的反应。因为多数人的意见是，集合理论是（精炼的）逻辑的一部分，所以这个论点似乎得到了自然数和实数理论可以从集合理论导出这一事实的支持，也得到了集合论方法在代数和实的及复的分析中作用日益增大的支持。

在如何理解数学上，希尔伯特是追随载德金的。对于我们，希尔伯特和戴德金的早期的逻辑主义的实质就是直觉地认可某些现代的方法，不管它们当时看来如何大胆。这些方法是在19世纪逐渐出现的，特别是与哥廷根的数学相联系的（高斯和狄利克雷）；哥廷根的数学由于黎曼的崭新思想出现了至关重要的转折，而由戴德金、康托、希尔伯特和其他一些人进一步发展了。同时，有影响的柏林数学学派一直反对这个新潮流，克罗内克是公开的反对，魏尔斯特拉斯则比较微妙含蓄地反对，巴黎和其他地方的数学家们对于这些新的激进思想也多心存疑虑。

这种现代的途径的最具特征的显著特性是：

接受狄利克雷所提出的“任意”函数的概念；

完全地接受无穷集合以及更高级的无穷大；

愿意"以思想代替计算"（狄利克雷），而更关注于由公理所刻画的"结构"；还有

时常依赖于“纯存在”的证明方法。

这是复平面上代数数的图片

这些特性的一个有影响的早期的例子是戴德金处理代数数理论的途径——他对数域和理想的集合论定义，以及他证明诸如唯一分解的基本定理的方法。戴德金用“理想”这种代数整数的无穷集合的概念来研究代数整数的因子分解性质，从而脱离了数论的传统。利用这种新的抽象概念，再加上两个理想的积的适当定义，戴德金就能够完全一般地证明在代数整数的任意环中，理想都可以唯一地分解为素理想的乘积。

克罗内克抱怨戴德金的证明并没有使我们能够计算任何特例下的有关的除式（即理想），就是说，这个证明是纯粹的存在证明，克罗内克的观点是，这种抽象的工作方法是由于集合论的方法和集中注意于相关的结构的代数性，才成为可能的。 戴德金则认为克罗内克的抱怨是无的放矢，戴德金的成功在于他由于仔细贯彻"以思想代替计算"这个原则而取得了成功，黎曼的复变函数理论也是强调了这个原则。 很明显，具体的例子需要发展更精巧的计算技巧，而戴德金的几篇文章都是为此目的的。

欧拉、黎曼和戴德金

通过1867-1872年发表的文章，黎曼和戴德金的思想和方法更加为人所知了。 这些文章特别使人震撼，是因为它们非常公开地为一个观点辩护：数学理论不应该以公式和计算为基础，它们应该总是以表述清楚的一般概念为基础，而把解析表达式和计算的工具推给理论的进一步发展。

为了解释这种对立，让我们考虑黎曼和魏尔斯特拉斯对待函数论的不同途径的对立这个特别清楚的例子。魏尔斯特拉斯把解析函数（或称全纯函数）显式地表示为幂级数

的一个集合，其元素互相以解析拓展相连接。黎曼则选择了一个非常不同的更抽象的途径定义一个函数为解析，如果它满足柯西-黎曼的可微分条件这个干净利落的定义是魏尔斯特拉斯所反对的，因为可微分函数类从来没有被（例如用级数表示）仔细地刻画过。魏尔斯特拉斯发挥了他的批评才能，给出了一个连续但处处不可微分的函数的例子。

魏尔斯特拉斯函数，处处连续却无处可微

值得注意的是，在更加偏好把无穷级数作为研究分析和函数的关键工具这一点上，魏尔斯特拉斯其实更加接近于18世纪把函数作为一个解析表达式的观点。 另一方面，黎曼和戴德金总是赞成狄利克雷的抽象的观点，即函数f是对于每一个x用一个任意的y=f（x）与之相关的“任意”的办法。魏尔斯特拉斯在一封信里，批评过狄利克雷的这个概念太一般、太模糊，不能成为数学研究的起点。他似乎忘记了一件事，那就是狄利克雷的这个观点正是定义和分析一些一般概念如连续性和积分的正确的框架。

在其他领域里也出现了类似的方法论的辩论。克罗内克在1870年的一封信里走得这么远，甚至说波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理是"明显的诡辩"，并且许诺自己会找到一个反例。波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理宣布实数的有界无穷集合必有聚集点。这是古典分析的基石，而且正是魏尔斯特拉斯在他的著名的柏林讲义里这样肯定的。克罗内克的问题在于实数系的完备性公理。实数不能够用初等方法从有理数构造出来，为此必须严重地依赖于无穷集合（例如应用"戴德金分割"）。换一个方法来说、克罗内克是要人们注意这样一个问题，即波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理中的聚集点不能用初等方法从有理数构造出来。 这种情况是很常见的。在实数集合，即"连续统"这样经典的定义里面，就已经包含了现代数学的非构造成分的种子。

戴德金分割

到了1890年，希尔伯特关于不变式论的工作又引起了关于另一个基本定理，即基底定理的纯存在证明的一场辩论，这个定理（用现代的用语来说）就是：多项式环的每一个理想都是有限生成的。哥尔丹因他关于不变式理论的繁冗的算法处理而著名，人称“不变式之王”的他，曾经幽默地讥讽希尔伯特的这项工作是“神学”而不是数学（这明显地意味着希尔伯特的证明是纯粹的存在证明而不是构造性的，就如同哲学中上帝的存在证明一样）。

这种早期的关于基础的辩论的对立双方，观点都逐渐清晰了。康托在集合论中的证明方法也成了存在证明的现代方法论的精彩例子。他在1883年的一篇论文里为高阶的无穷大和现代的方法论作公开辩护，其中夹着对克罗内克的观点的批评。另一方面，克罗内克早在1882年就公开批评过戴德金的方法，又私下反对康托，而到了1887年则著文详细说明自己关于基础的主张。戴德金则在1888年用详细的关于自然数的集合理论（在他本人看来，这就是逻辑主义了）作答。

早一轮的互相批评以现代派阵营的胜利告终，这时，这个阵营又增加了新的盟友，如赫尔维茨、沃尔泰拉、佩亚诺和阿达玛，还有克莱因这样有影响的人物为它撑腰。虽然黎曼的函数论还有待改进，在实分析、数论和其他领域的新进展则都在表现出现代方法的力量和前景。到了1890年代，一般说来是现代观点，特别是逻辑主义，得到了很大的发展。希尔伯特把这种新的方法论发展成为公理方法，非常有效地用于几何学（1899年出版了他的《几何基础》）以及实数系的研究。

然后，突然出现了所谓逻辑悖论。康托、罗素、策墨罗和许多其他人都发现了悖论。对此，下面还要讨论。悖论有两类：一类是有一些用以表明某些集合存在的论证会引起矛盾，这一类称为集合论的悖论；另一类是有些论证说明了在真理和可定义性的概念中也会有困难，这一类称为语义悖论。这些悖论的出现，完全摧毁了逻辑主义所提出的关于数学的新近发展的吸引人的观点。说真的，逻辑主义的全盛时期是在悖论出现以前，即1900年以前。后来还因为罗素和他的“类型理论”有复兴之势。但是到了1920年左右，对逻辑主义更有兴趣的是哲学家而不是数学家。