希尔伯特以康托的连续统问题来开始他在1900年巴黎的第一届世界数学家大会上的著名问题清单，这是集合理论的一个关键问题，而接着的第二问题就是是否每一个集合都可以被良序（良序定理）？第二问题相当于确立实数集合 R 的概念为相容的。

在数学中，良序指的是对于一个集合，其中的每个非空子集都有一个最小元素。换句话说，一个集合被称为良序的，当且仅当它的元素可以被排成一列，并且其中没有无穷递减的序列。良序性质在数学中有广泛的应用，比如在证明归纳原理、Zorn引理等定理时都需要使用良序的概念。在选择公理中，良序定理指的是任何一个集合都可以被良序排列的定理，这个定理与选择公理等价。

悖论和相容性

1896年前后，康托发现所有序数的集合和所有基数的集合，这些表面上无害的概念都会导致矛盾。

在康托尔的集合论中，序数（Ordinal）和基数（Cardinal）是两个重要的概念。

序数是用来描述集合之间的顺序关系的概念。具体地说，一个序数就是所有在它之前的序数构成的集合。例如，自然数集合 {0, 1, 2, 3, ...} 就是一个序数，因为每个自然数都比前面的自然数大 1。

基数则是用来描述集合的大小的概念。一个集合的基数就是它所包含的元素的个数。例如，自然数集合的基数就是无穷，因为它包含了无穷多个元素。

在序数的情况，这个矛盾通常称为Burali-Forti悖论；而在基数情况，则称为康托悖论。根据康托的结果，所有序数形成一个集合这一假设，将会导致存在一个序数小于其自身——对于基数，也有类似的结果。戴德金在听说这些悖论以后，开始怀疑人类的思想是否完全是理性的。更糟的是，在1901年或1902年，策墨罗和罗素发现一个很初等的矛盾，现在称为罗素悖论，有时也称为策墨罗-罗素悖论。现在已经很清楚了，把集合理论理解为逻辑是站不住脚的，一个新的不稳定的时期开始了。但是应该说，只有逻辑学家心烦意乱，因为矛盾是出现在他们的理论中。

现在我们来解释策墨罗-罗素悖论的重要性。从黎曼到希尔伯特，许多作者都接受了一个原则：给定任意的适当定义的逻辑或数学性质，必定存在一个集合，即所有具有这个性质的元素的集合。用符号来表示，设有一个适当定义的性质 p，则必存在另一个对象，即集合{x：p（x）}。例如，相应于"是一个实数"这个性质，就有所有实数的集合；相应于“是一个序数"这个性质，就有所有序数的集合，如此等等。这就称为概括原理，它是对于集合的逻辑主义理解的基础，这样理解的集合论称为朴素集合论、虽然其朴素性是后来才看出来的。这个原理被认为是一个基本的逻辑法则，所以，整个集合理论只不过是初等逻辑的一部分。

策墨罗-罗素悖论表明，概括原理是会引起矛盾的，要想说明这件事，只需陈述一个看起来尽可能基本、尽可能属于纯粹逻辑的性质：

于是，概括原理给出了集合R={x：x∉x}的存在性。但是这里可就引起了矛盾：

R是否∈R？，如果R∈R，则由集合 R的定义，应有 R ∉ R。与此类似，如果 ∉ e R。则应有 R ∈ R。

希尔伯特被迫放弃逻辑主义，他甚至怀疑，克罗内克是否一直是正确的。最后，他得到一个结论：集合论表明，有必要修正逻辑理论。 有必要用公理化的方法来建立集合论，使之成为一个基于数学公理（而不是逻辑公理）的基本的数学理论，策墨罗就来从事这项工作。

希尔伯特为这样一个主张辩护：想要宣称数学对象的某个集合是存在的，就等于要证明相关的公理系统是相容的，即是无矛盾的。这个主张是很有名的，有文献证据表说明，这个著名的主张是对康托悖论的回应。他的推理可能是这样的：不能直接从适当定义的概念马上就跳到相应的集合，而要先证明这些概念是逻辑相容的。例如，要想接受实数集合，就要先证明关于实数的希尔伯特公理系统是相容的。 希尔伯特的原理是从数学存在的概念里清除一切形而上学的内容的方法。这样一个观点，即数学对象有一种在思想领域里的“理想的存在性”，而没有一种独立的形而上学的存在性，这是戴德金和康托早就期望的。

“逻辑”悖论不仅是包括了以Burali-Forti、康托和罗素命名的那些悖论，还有许多语义悖论，由罗素、理查德等许多人发现。由于不同的悖论太多，出现了不少的混乱，但是有一件事很清楚：悖论在促进现代逻辑学的发展和使数学家明白把他们的理论严格的形式化的重要性。只有当一个理论用精确的形式语言表示出来以后，才能不顾这些语义悖论，而且把语义悖论与集合论悖论的区别陈述出来。

直谓性

当1903 年弗雷格和罗素的书使得集合论的悖论为数学界广泛知晓时，庞加莱利用这些悖论对逻辑主义和形式主义提出了批评。

他对悖论的分析引导他造出了一个新概念：直谓性，并且坚持在数学中必须避免非直谓的定义。非形式地说、一个定义是非直谓的，如果它在引入一个元素时，已经参照了一个整体，而这个整体已经包括了这个元素。下面是一个典型的例子：戴德金定义自然数集合N为这样的集合之交，这些集合都包含1，而且在下面的单射函数 σ下是闭合的，这里1 ∉ σ（N）。他的思想是把N 刻画为最小的集合，所以在他的程序中，集合N是参照许多集合的整体来定义的，但是这个整体中的每一个集合都已经包含了N。所以，这种程序是庞加莱所不能接受的。庞加莱在他研究过的悖论里都找到了非直谓的程序。

现在举理查德悖论为例。这是一个有关语言的悖论，即语义悖论（我们说过，在语义悖论中真理性和可定义性起了重要的作用）。我们从可定义的实数这个概念开始。因为定义一定要用某种语言里的有限表达式来表出，所以只有可数多个可定义数。事实上，我们可以按照其定义式的字母顺序把可定义数排列成表（这种次序称为字典顺序）。

理查德的思想是：对可定义数的这个表，应用康托证明R为不可数集合（对角线论证）。但是我们可以使r的十进展开式的第 n个数码与a_n的第 n 个数码不同，这样，r就与所有的a_n都不同，从而r不可能成为可定义数。但是这个构造的过程已经说明r是一个可以用有限多个字来定义的数！庞加莱禁止使用非直谓的定义，当然会阻止定义r，因为在定义它的时候是参照了所有可定义数的。

在这种对待数学基础的途径下，所有的数学对象（凡超过了自然数的）都必须用显式定义来引入。如果一个定义涉及到预先假设的一个总体，而想要定义的对象又是这个总体的一员，就陷入了一个循环：对象本身是其定义的组成部分。按照这种观点来看，“定义”必须是直谓的：只能参照在定义这个对象以前就已经确定了的总体。罗素和威尔都接受这个观点，而且发展了它。

策墨罗没有被说服，他争论说，非直谓的定义时常用起来很容易，并不复杂，不仅是在集合论中（如戴德金关于N的定义）有，而且在古典分析中处处都有。作为一个例证，他引用了柯西关于代数的基本定理的证明，但是非直谓定义还有一个更简单的例子，即实分析中的最小上界。实数并不是分别引入的，即不是一个一个地各用一个直谓定义显式给出的，而是作为一个完成了的整体给出的，而从一个无穷的实数集合分出其最小上界的特定的方法就变成了非直谓的。策墨罗坚持这些定义并无大害，因为被定义的对象并不是由定义"创造"出来的，而只是分离出来的。

庞加莱关于废除非直谓定义的思想，对于罗素是很重要的。罗素把庞加莱的思想凝聚成他的类型理论中的所谓"邪恶循环原理"。类型理论是一个高阶逻辑系统，其中，量词可以用于性质或集合、关系、集合的集合等等。粗略地说，它是基于这样一种思想：一个集合的所有元素都应该是属于同一匀齐的类型的对象。例如，我们可以有"个体"的集合如{q、b}，可以有个体的集合之集合，如{{a}，{a，b}}，但绝不可以有混合的集合如{a，{a，b}}。

罗素版本的类型论，后来由于他采用了所谓分支以避免非直谓性而变得很复杂。这个系统加上无穷公理、选择公理和“化约公理”，就足够来发展集合论和数的系统了。所以，这就成了罗素和怀特海（英国逻辑学家、数学家和哲学家）的巨著《数学原理》的逻辑基础。罗素和怀特海在这部巨著里发展了一个数学基础。

庞加莱的建议也是威尔的《连续统》一书的关键原理。威尔在这本书里提出了有趣的研究数学基础的途径。威尔的思想是接受常规的、用经典逻辑发展起来的自然数理论，但是再向前走，就要按照直谓性的要求来工作了。这样、威尔和布劳威尔不同，他接受排中律。然而，他不能使用完全的实数系统：在他的系统中，实数集合还不是完备的，波尔扎诺 — 魏尔斯特拉斯定理也是不成立的。这就是说，他还必须想出非常精巧的方法来代替分析中的结果的常用的推导。

直谓系统介于赞成所有现代方法论的系统和约束很紧的构造主义系统之间。有好几个系统都不适合通常的但是现在已经过时的逻辑主义、形式主义和直觉主义的三分天下，威尔的系统是其中之一。

选择

悖论虽然很重要，但它们对于关于基础的辩论的影响被夸大了。人们常可找到一些文章，以悖论作为这场辩论的真正起点。但是，即令我们限制只考虑20世纪的第一个十年，也还有一场争论，其重要性并不稍次，这就是围绕着选择公理和策墨罗对良序定理的证明的争论。

选择公理是这样一个原理，它指出，给定任意的一族无穷多个互相分离的非空集合，必存在一个集合，称为选择集合，其中含有族中每一个集合的恰好一个元素。批评者说，关于选择集合，问题在于选择公理只保证了这个集合的存在，而没有给出定义它的性质。说真的，如果能够显式地刻画选择集合，也就可以避免使用选择公理了。所需要的R的良序的存在性，是在康托、戴德金和希尔伯特的"理想"意义下的存在，似乎很清楚，它完全没有构造主义的前景。

这样，选择公理使得集合理论过去的概念更加模糊了，迫切需要数学家对它作出澄清。一方面选择公理只不过是任意子集这个老概念的一个显式的表示。另一方面它又和人们强烈持有的必须用性质来显式地定义无穷集合有明显的冲突。关于这个特定主题的讨论，在澄清现代数学方法在存在问题蕴含了什么意义上，贡献更超过任何其他问题。

在策墨罗发表了他的证明以后，在全欧洲都引起了热烈的辩论。策墨罗被驱使去建立起集合理论的基础，试图表明他的证明可以在一个无例外的公理系统中展开，结果就是他的著名的集合理论的公理系统。这是对于历史上由康托、戴德金和他自己的定理所贡献的集合理论进行仔细的分析而产生的杰作。后来由弗朗克尔和冯·诺依曼加以补充（增加了代换公理和正规性），又有威尔和斯科伦提出的主要创新，到了1920年代，这个公理系统就成了我们现在所知道的样子。因为弗朗克尔的参加，现在这个公理系统就简记为ZF公理系统。

ZFC（就是ZF加上选择公理）把现代的数学方法论编为法典，给出了发展数学理论和进行证明的令人满意的框架。特别是它包含了很强的存在原理、允许非直谓定义和任意函数，允许纯存在证明，而且使得有可能定义主要的数学结构。策墨罗自己的工作完全符合希尔伯特在1900 年时的非形式的公理化，他也没有忘记许诺可以给出相容性的证明。公理化集合论，不论是ZF的表示，还是冯·诺依曼一伯奈斯—哥德尔的形式，都是绝大多数数学家认可的自己学科的工作基础。

说到1910年代，罗素的类型理论和策墨罗的集合理论的对立是很强的。前者一是在形式逻辑下发展的，二是它的出发点是与直谓主义完全一致的。为了导出数学，这个系统需要无穷大存在的假设和选择，但是只是用一些修辞的处理，把它们当成试探性的假设，而不是当作公理。后一系统则不同：一是它是非形式地表述出来的，二是它采用了非直谓的观点，而且把足够导出全部古典分析和康托的高阶无穷大理论所需的强存在假设都当作公理。

策墨罗

到了1920年代，在这两个特性上的分歧大大地减少了。策墨罗的公理系统被完善了。而且是用现代的形式逻辑的语言来表述了。 罗素派则采用了简单类型理论，这样接受了现代数学的非直谓的和关于“存在”的方法论。罗素派也因此获得了"柏拉图主义"的名声，这个理论所讲到的对象，都好像是独立于数学家能否真正显式地加以定义的。

就在这一段时间里，再追溯到20世纪的第一个十年，一个年轻的数学家在荷兰开始追求构造主义的一种带有哲学色彩的版本。他就是布劳威尔。布劳威尔在1905年提出了他的非常特别的形而上学的观点，而且在他的1907年的论文中开始详细阐述相应的数学基础。他的“直觉主义”的哲学来自一个古老的形而上学观点：个体的意识是知识的唯一来源。这种哲学本身可能没有什么意义，所以我们在此只关注布劳威尔的构造主义原理。在1910年左右，布劳威尔已经是一个有名的数学家了，在拓扑学上有关键性的贡献，如他的不动点定理。 到第一次世界大战末，他开始发表文章详细阐述他关于数学基础的思想，这就帮助创造了著名的"危机"，我们后面的文章就要转到这个问题上来。他还在确立形式主义和直觉主义的区别的现行的看法上也很成功。