新高考全国II卷同样也是试卷结构改革的第一批试卷，必然相比往年而言是有所改革和创新的，但还是追求稳中求变的，而且相较全国I卷来说，稳当了很多，这也是全国II卷应该具备的特点，毕竟试卷适用地区不同。试题中除第14题在考生能力要求上有所变化外，其余的问题从考查方式、题目场景、能力素养要求上来看，与以往年份的新高考试题的区别不是特别大。包括第19题，虽然有探究和分析的过程，但是仍旧是在综合课本知识的场景下进行的，它通过综合性的提高来体现创新，然而并没有涉及到在全新的背景和场景中应用我们的数学能力，即没有脱离一些固有方法来考查数学思维，虽然如此，这个问题还是很具有选拔性的。关于试卷结构改革带来的影响，在全国I卷和九省联考的解析中我也谈到了我的一些个人看法，有兴趣可以查找观看。本份试卷给人最直观的感受，我相信就是计算量很大了，尤其是第18题、第19题涉及到的代数化简内容，一个是双变量的高次代数式化简，一个是含有多个字母，各种次方、角标哪哪都是的代数化简，式子列出来就有种想跳到下一题的冲动，奈何试卷无题可跳了。这两个题目分值很高自然得失心就很重，再加之考场上相对紧张的状态，这些心态上的变化也会影响到很多同学在考场上的计算化简能力。试卷整体来看，逻辑和思维上的难度并不算特别高，压轴题中的逻辑和思维难度其实也算是中规中矩的，不过这份试卷的计算量着实是狠狠的在绝大多数同学的软肋上来了一记重拳。之所以说逻辑和思维上的难度不高，是因为很多题目的情景、使用到的解法都是相对熟悉的。这个会在后续逐题分析中提到。从综合程度来看，给人最直观感受的是第19题将解析几何和数列进行了综合，除此之外，大模块之间的综合问题相对较少。模块内的知识点综合还是有的，比如第10题，不过虽然综合了，但受限于题目自身的难度，综合程度并不高，这也是导致试卷逻辑和思维难度不是特别高的原因之一。最后开始逐题解析之前想稍微说明一下，我写的解析内容和解题过程相对较多，只是希望能尽量严谨的呈现推理过程、运算步骤和书写细节。同时也会在一些关键的推理和化简步骤当中说明方法选择的理由以及注意事项，同时部分问题会给出如何分析出的解题思路，这些内容其实正常解题的时候可能就是脑中的“一闪念”，但写出来之后，会让题目步骤和步骤间更流畅一些。另外很多题目给出了多种方法，也是希望大家可以了解一下同一个问题在不同角度下的处理逻辑，为之后学习、复习提供一些新的思路。对于部分题目提供的相应背景，并不是希望大家去疯狂的学习相关内容，深挖及拓展一些性价比极低的知识方法和高等背景，毕竟高考是以通性通法为核心的。之所以写这些只是希望大家如果有兴趣了，可以有一个地方能找的到相应背景，虽然关于背景的说明不一定十分专业精准，至少可以提供一个方向。高考数学不是去筛选谁知道的命题背景多，更多的还是聚焦在不同的背景下呈现出的数学素养和能力。但是学有余力的同学，是可以适当了解一下的，拓展一下思路，也可以更加了解数学学科的作用。别的不多提了，下面开始试卷的逐题解析和一些解题感受，更具体的内容会放在里面谈一谈。

单项选择题：第1题

本题是一个最为基础的复数的模的求解问题，复数直接给出了，计算实部与虚部的平方和开根号便可以得到答案。本题只要了解相关的基本概念问题就不大。这里想强调一点，我在解答中绘制了复平面以及z对应点的位置和向量，是因为复数的模其实是基于复数几何含义的，课本中的模也是通过向量引入的，虽然模长计算有公式，但是还是希望大家能了解概念的形成过程，有时候一些看似新颖的考题就是从这些地方命制出来的。

单项选择题：第2题

本题是一个含有全称量词和存在量词的命题真假判断的问题，题目当中的两个命题虽然含有逻辑量词，但判断起来并不困难。同时本题也涉及到命题的否定与原命题真假的关系。对于命题p很容易找到反例，从而确定它是假命题，其否定为真；而命题q也很容易通过x=1来说明命题为真，从而最终确定选项。

单项选择题：第3题

本题相较前两个问题难度稍微所有提升，但是属于很经典的题目类型，就是所谓的向量“二次”型问题，这类型问题能较好的考查到方程思想，这类型问题大家在求解时可能会有些程式化，不过还是希望大家可以关注到它体现出的方程思想的相关内容。这种问题通常会涉及两个向量的模长（或向量平方）、它们的数量积（或向量夹角）以及一个关于这两个向量的“二次”形式，共计四个部分，前三个部分是可以表示第四个部分的，或者说这四个部分之间存在关系。通常题目会给出三个条件，通过列方程或方程组就可以求解相应的量。比如本题，将题目中的模长关系（平方后得到“二次”）和垂直关系（数量积为0）转化到向量a（模长已知）、b的模以及两个向量的数量积上，从而得到方程组，最终求解出向量b的模长。所以逻辑上来看，就是典型的四元关系，“知三求一”，这也就是方程思想在多个变量关系上的体现。

单项选择题：第4题

本题考试后出现了较多不同的、题干选项不甚严谨的版本，现在提供的是经过确认后的版本。题目是一个有关于样本数字特征的相关问题，涉及到了很多统计中的数字特征求解的内容，同时还有涉及对于数据分组的理解以及简单的不等式相关知识。A选项涉及到中位数，首先需要了解偶数个数据的中位数的求解方法，即排序后第50个和第51个数据的平均值，之后就要在表格中寻找，可以找出它所在的分组，接下里就是对于数据分组的理解，数字在分组内具体的分布是不确定的，可以取到最小值，也可以直逼上界，从而判断该选项正误。B选项直接通过相应分组频数和样本容量计算即可。C选项，同样涉及到了同一分组内的数据分布，我们是可以得到所有数据中最小值和最大值相应的取值范围的，从而通过不等式性质计算极差的范围。对于D选项，一般在考试当中，我是不会直接计算平均数、方差的，通常通过数据的基本特点对其进行估计，或者对于单选题，可以直接利用其它选项的正误来分析该选项的正误，比如本题C正确，D其实就可以不用过多考虑了，当然前提是你可以确定自己C正确的判断是没有问题的。本题解析中虽然给出了具体平均值范围的求解方法，但也希望大家可以学会简单估计平均值上下界。数据中大于等于1050的占比是远大于可能小于等于1000的数据的，通过配凑可以将平均数向着1000构造。比如[1100,1150)中的数字最小为1100，可以选其中6个，每个数拿出100给到[900,950)中的6个数字，则它们12个数字平均值必然大于等于1000，同样的，[950,1000)与[1050,1100)中的数据进行配凑，可以凑出24个数的平均值大于等于1000，这样配凑完，仍剩余多个数字大于1000，则平均值必然大于1000，从而完成估计。

单项选择题：第5题

本题如果从严谨的推理来看，是一个利用相关点求解轨迹方程的问题，虽说如此，但题目是可以直接利用图形关系进行分析的。在新高考全国I卷中，也有相关内容的考查，即第11题，涉及到了轨迹方程的求解，只不过计算方法不同。当时的解析就提到了曲线与方程的知识不再独立作为一节出现，但是在椭圆标准方程、双曲线标准方程等的推理过程中出现，正如第1题所说，了解概念、公式、定理是课本学习的一方面，一些概念生成的过程以及过程中体现的方法和思想也是我们要去注意的。本题M是已知轨迹的动点P的相关点，用M坐标表示P的坐标，再将其代入到P的轨迹方程则得到M的轨迹方程。当然，如果单纯从图象的变换上来看（本质上是仿射变换），就是把半圆“压扁”形成半椭圆，相应的，长轴为圆原先的直径，短轴为“压扁”为垂直于长轴的一条“直径”，为原先直径长度的1/2. 进一步利用椭圆标准方程计算M的轨迹方程，最后强调y的取值范围。不过题目中每个选项都有这部分，也就自然可以注意到了。

单项选择题：第6题

本题是一个函数图象交点个数的问题，这种问题本质上是方程解的个数问题，不过通过图象交点来观察是最为直观的。题干中出现了一个由基本初等函数构成的新函数g(x)，这里当然可以通过求导来分析这个图象，但明显会比较麻烦而且不够准确，因为参数a大小不明确。想解决这个问题，这就体现出了数学结合思想的作用，题目是用图形关系描述的，我们可以把它转化为代数上的关系，即f(x)=g(x)，然后通过代数化简，可以将原本复杂的两个函数，通过约去公共部分，得到两个图象特征很明确的函数，这两个函数都是偶函数，如果其图象在对称的定义域内只有一个公共点，那么必然这个公共点在对称轴上，否则就会有偶数个公共点。这样我们通过两个函数在x=0处函数值相等，即在x=0处有公共点，可以计算得到a的值。此时其实就已经得到答案了。不过如果严谨推理，需要说明此时a的值确实只能取到一个公共点，因为我们推理时仅利用了这一个点，其余位置并未说明。除此之外，在代数转化上有其他处理方法，比如构造新函数h(x)=f(x)-g(x)，直接分析它与x轴的交点个数，或者参变分离形成新函数分析其图象与y=a的交点个数。但是归根结底都是利用到偶函数的性质。这些方法第一步逻辑一致，都是“由形到数”，在“数”的化简上操作不同，从而后续再次“由数到形”时处理的对象略有差异，但是性质不变。

单项选择题：第7题

本题是一个正三棱台空间结构特征相关的问题，涉及到了线面角的求解。一般而言，对于棱台来说，处理方向就是两种，一种直接分析几何体结构特点，通过引垂线等方式来计算所需的几何量，最终完成问题的求解。同时，棱台还有一种解题逻辑，就是利用补形法，因为棱台自身就是由棱锥去掉一个小棱锥得到的，所以补形回棱锥一样可以解决问题，这其实就是通过关注概念的形成过程产生的解题思路。如果用第一种思路，本题给出了体积以及上下底面边长，是可以计算出棱台的高的，通过线面夹角的定义，确定其平面角，利用上底顶点在下底的投影是可以得到该平面角所在直角三角形的直角边长的，高是另一个直角边，从而计算正切值。如果补形的话，通过上下底边长的比得到两个棱锥的棱长比，之后可以通过不同方法确定棱锥的高，而它的线面夹角的平面角确定起来更为简单直接，不需要去寻找上底在底面的投影。

单项选择题：第8题

其实对于这个问题作为单选最后一个小题，我是比较意外的，因为它是函数恒非正、恒非负判断的一种较为经典的结构，即两个具有零点的单调函数之积，有时候也称为“类二次函数”。对于它而言，直接求导分析正负是不太现实的，因为它的导函数过于复杂。所以只能回到原函数进行分析，原函数是由两个单增且有零点的单调函数相乘得到，那么就可以根据自变量相对于两个零点所处的位置不同，分析两个单调函数的正负情况，再结合符号法则来分析函数f(x)的正负情况。通过分析，可知只有两个零点重合时，函数值恒非负。解析中我给出了图象关系示意以及较为严谨的说明方法（我选择了列表，阅读更为直观，也可以对每个区间进行文字描述），因为这种问题是曾出现在解答题当中的，那时就需要有严谨的说理过程了，不能只是泛泛描述几句图象特点就直接得到结论，不过小题里面直接通过图象得到结论即可。通过零点重合我们便得到了两个参数的关系，问题就变成了条件最值问题，具体求解最值的方法可以单元化利用一元二次函数求解最值，或者利用基本不等式的变形来求解，这一部分就是基本功的考查。这道题目所处位置对于我而言比较意外，是因为我对于很多结构较为熟悉，其实这道题目相比前面的问题，它是更注重逻辑上的考查的，运算虽然简单，但难度倾向于在思维和逻辑上体现出来。如果对于该结构陌生，想到这种处理方式就需要有较强的逻辑思维能力了，所以说它还是有一定区分度的题目。

多项选择题：第9题

这个问题是一个关于y=Asin(wx+φ)图象性质的考查，这里可以直接通过求解f(x)和g(x)两个函数在题目当中涉及到的零点、最大值、最小正周期以及对称轴的值或表达式，利用代数方式来判断它们是不是相等，从而选出选项。其实就是相当于直接套用三角函数相关的一些方法和结论。本期利用函数图象的平移变换更为方便，y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象右移π/8得到的，由于只涉及横向平移，所以周期、最值不发生改变，可以快速分析出B、C正确。对于A、D，若要有零点、对称轴重合，则必须移动整数个半周期，而两个函数半周期均为π/2, 则这两个选项不正确。其实函数图象的变换正是前面求解周期、最值、零点、对称轴用到的方法的本质，即我们前面反复提到的方法结论的形成过程。方法、结论重要，它形成的过程原理一样需要重视，它们解决不同问题时会体现出不同的难易程度。像这种计算量整体偏大的试卷，每个问题都应该尽量选到最便捷的解法以求留出更多的时间来解决后面计算量较大的问题。

多项选择题：第10题

这个问题是一个解析几何的综合问题，题目当中涉及到了众多图形，有直线、圆、抛物线，但是每个选项考查的内容却是相对基础的和常规的。题目中抛物线和圆是给定的，那么自然准线是确定的，A选项分析准线和圆的关系，就是分析一个定圆和一个定直线的位置关系，直接求解圆心到直线的距离，判断它与半径的大小关系即可。B选项要求P、A、B三点共线，而PB是垂直于准线的，换言之就是过A点做准线的垂线，垂足为B与抛物线交点为P，此时三个点的纵坐标相等，都是A的纵坐标，即为y=4, 通过它可以计算出P的坐标，而题目求解的是P关于圆A的切线长，则需要利用其到圆心的距离来求解，在半径垂直于切线对应的直角三角形中使用勾股定理便可以计算切线长。C选项，由于给出了抛物线上动点P到准线的距离|PB|=2，从而可以确定出此时P的坐标（有两个），之后利用向量或者斜率判断PA、AB是否垂直即可。当然，也可以假设出它们垂直，计算出满足要求的动点的P的坐标，再判断此时|PB|是否等于2即可，但是该方法计算相对麻烦。D选项是四个选项中相比其它几个略有难度的一个选项，首先处理它时可以完全不考虑任何的图形性质，直接设出动点，对题干中的几何条件进行代数翻译，之后求解满足条件的方程解的个数。但实际上|PA|=|PB|中|PB|是等于|PF|的，这样转化可得|PA|=|PF|, 使得条件中动点只有一个P（原条件中P、B均运动），这样可以确定P在定线段AF中垂线上，通过图象其实就能判断出中垂线与抛物线有两个交点，即有两个这样的P点，不过我还是给出了严谨的代数说明，填选问题建议直接绘图分析即可。

多项选择题：第11题

这个多选的压轴题和单选的压轴题一样，我也觉得挺意外，它是一个三次函数相关的考查，而且选项中的问题都是相对常规的考查方式。A选项是判断三次函数零点的，只要极小值小于0，极大值大于0便会有三个零点，a>1时是满足条件的。B选项可以确定在该选项前提下，x=0是极小值点，虽然是极值点但不是题目要求的那个。对于C选项，三次函数图象不可能是轴对称图形，而且我们知道它的图象是中心对称的图形，其实也就是D选项让我们判断的内容了。此时要注意了，我们已经排除了B、C，作为多选题，D都可以不用看了，必然要选AD了，我只能理解为“想变向降低难度”吧。D选项的判断方式是很多的，我给出了四种，其中“方法三”和“方法四”是三次函数特有的，我个人求解时会利用到函数拐点对应对称中心的求解方法。不过如果真是解答题当中出现了相关的问题，比如今年新高考I卷的第18题，相对常用的方法还是“方法一”和“方法二”，它们是对于更多函数通用的判断中心对称的方法。

填空题：第12题

本题是一个等差数列基本量相关的求解问题，它也是很典型的方程思想的体现，即首项和公差是两个未知数，题目的两个条件可以转化到这两个量上来表达，形成方程组，就是我们常说的两个方程两个未知数，未知数可解。同样所求的前10项和也表示为首项和公差的形式即可。这里想强调一下，等差数列求和公式的形式有很多种，如果可以的话，希望大家都有所了解，不同情境下使用更适合的公式，会方便一些，提高效率。

填空题：第13题

三角函数恒等变换求值的问题是近几年的热门问题了，从新高考以来这样的问题基本年年出现，今年的全国I同样有这样的问题。本题给出的条件都是正切相关的，如果单纯的从课本中选择公式不做任何其他的深入拓展，正切能利用的无非就是和差倍角的正切公式来进行恒等变换，它仍旧只能转化出正切。题干出现两个正切的和，所以我们便朝着和角正切转化，计算得到tan(α+β)的值，再根据它的正负以及两个角所在象限确定出α+β所在象限，最后根据同角三角函数关系计算得出其正弦值。如果考虑一些拓展的关系，本题可以利用余弦平方和正切平方的关系，将问题转化，即图中的方法二。该方法虽然不需要求解方程，但是转化过程相对复杂，所以需要关注的是方法中余弦与正切的关系，可能会在今后解题中多一种思路。

填空题：第14题

本题是本张试卷讨论度较高的一个问题了，是一个组合极值问题。第一空是一个计数问题，该计数问题与全国I卷的填空压轴的概率题目中基本事件的计数是同一种问题，即将4个列标号，分配给4个行标号，计数结果为4个元素的全排列的方法数，当然也可以逐行进行分步计数。关键的问题就在于第二空了，在所有的24种组合当中，要我们找到加和最大的一个组合。我了解到一些同学选择了比较凶猛的枚举法，但是枚举法情况太多，容易遗漏，而且计算24次加法，容易出错。不过不知道用枚举法的同学在枚举的过程当中有没有发现可以将求和过程优化的途径。比如，是否发现了所有的和基本都是100多，这100正好是由每列数的十位1、2、3、4得到的 ，那是不是就可以只求解个位数的加和。而这个操作就相当于是给第一列每个数减10，第二列每个数减20，依次类推。基于这种发现，我们可以尝试推理得到将某一行或某一列中的数字，统一加上或者减去同一个数字，不影响取到最值时数字所处的位置，这里注意，最值肯定会变，但是选择数字的具体位置是不会变的。利用这个性质是可以较为便捷的发现加和最大时数字该如何选取。我在求解时就选择将每列中的所有数字减去该列的最小值，这样，第一行全是0，第二行最大为2，第三行最大为3，第四行最大为4，找到一种选择方法，含有各行的最大值即可。对于很多创新问题而言，如果一开始没有思路，一定要先尝试一下，在尝试的过程当中多观察分析，看看能不能找到研究对象的性质规律，从而利用它帮助我们解决问题。

接下来稍微说一说这个问题的背景，如果有兴趣的同学可以去查阅相关资料，我只是简单做个介绍。本题对应的其实是二分图最优匹配问题，是图论中的一类问题，也被称为“指派任务问题”。我给出一个具体的问题描述，就是有n个工厂，它们生产不同的n种产品的成本各不相同，将所有成本形成一个nxn的表格（行为工厂，列为产品），现在要求每个工厂选择一种产品生产，让我们找到总成本最低的一种指派任务的方法，这就是“指派任务问题”。该问题的求解逻辑有很多，但是从每行每列中去掉统一的数字来简化分析基本上每种方法都可以涉及到的。求解这种问题最为通用的方法就是匈牙利算法，我在解析中简述了过程。具体原理篇幅原因，大家有兴趣可以自己查阅相关资料，或者等时间充裕我去更新一篇《浅识·杂谈》聊一聊。

这种算法实际上在计算机深度学习领域是有相关应用的，这是我咨询了一位从业13年，但是还有头发的程序员得到的答复。高考试题并不希望考生能在考场上发现这种算法，也并不鼓励大家去了解各式各样的算法，但是通过这样的算法问题，是可以考查到考生分析问题、解决问题的能力的，也可以看看考生是不是有在新的情景中探究问题的意识。在全国性的考试当中，23年的四省联考其实就出现了"Lights out puzzle"的问题，也有着自己的一套算法。其实我也在思考为什么考查这样的问题，我觉得还是落在人才选拔上吧，毕竟现在各种AI黑科技的出现，可能确实需要有很强算法能力的同学投身到相关事业中了。在此之所以说这些背景也是真的希望有那么几个同学看到之后回去查一查相关的资料，保不齐就会有了一些新的兴趣呢。

（23年四省联考第16题为上文提到的Lights out puzzle，点击可跳转阅读）

解答题：第15题

解答题的第一题是一个解三角形的相关问题，题目条件直接给出了一个关于角A的等式，其本质就是一个关于A的方程，从而A可以求解，它的求解方式不唯一。比如直接利用同角三角函数关系解方程。由于是“同角、异名、一次”的形式，是可以利用辅助角公式来化简的形式，化简后解三角函数方程计算角A。如果将左侧的A看作x，则得到关于x的函数，右侧2其实是函数最大值，则A对应极值点，可以通过导函数为0计算A的正切值。其实除去上述三种还有其他解法，在此不再赘述。对于第二问，可以通过第二问条件计算出角B的大小，从而问题就变为了已知两角及一条对边解三角形的问题，自然使用正弦定理。不过想强调一点，去年包括今年全国I卷的问题，都是可以利用平面几何方式求解的，本题也不例外，而且通过图形求解显得更为方便，因为无需利用和角的正弦公式计算角C的正弦值。

解答题：第16题

利用导数分析研究函数的问题出现在了第二个解答题的位置，相对较为简单。第一问只要掌握函数的切线方程求解逻辑即可解答，当然求导是要求对的。这里一定注意，a的三次方是常数，不要把它错认为自变量求导。第二问是典型的含参函数的最值（极值）分析问题。通过对函数单调性的分析，可以得知a>0时函数存在极小值，该极小值是一个关于a的函数，那么符合题目要求的a的值必然使得这个函数值小于0，即要求解该函数对应的不等式，而新构造的这个函数在a=1处恰好等于0，利用新构造函数的单调性可以计算a的范围，完成不等式求解。此处一定要区分清楚运算过程中a的含义，在f(x)中它是参数，在极值对应的新函数中，它是自变量。同时对于一些新函数相关的方程、不等式问题，一定要尝试看看函数是否存在特殊位置使得方程成立或不等式取等，这是分析一些新函数的基本习惯。

解答题：第17题

本题是一个基于平面图形折叠的立体几何问题，对于折叠问题，要关注到折叠过程中不变的量，如AE=PE，PF=AF，当然还有一些不变的角。本题在题干当中给出了很多具体棱长大小和角度，那么就要基于这些数据对几何体的一些棱和它们形成的角做求解。通过求解出的结果，可能就会得到一些新的结构特征。本题利用余弦定理可以求出EF的大小，根据勾股定理可得三角形AEF为直角三角形，从而得到EF垂直于AD，通过折叠，那么折痕必然垂直于折线AD形成的新平面PED，进而得到EF于PD垂直。一般对于底面形状比较复杂的问题，建议大家可以将底面单独绘制出来，这样便于后续分析和求解问题。第二问是一个不含动点二面角相关问题，这里直接考虑建系求解二面角。建系时要首先证明EP、EF、EC两两垂直才可以建立直角坐标系。本题强调一个细节，就是关于平面PBF法向量的求解，点B的坐标在坐标系中比较复杂，而AFB共线，则PBF和PAF位同一平面，而点A在坐标轴上，计算起来会简化很多，所以选择P、A、F来确定两个向量，进一步求解法向量。本题也可以考虑几何解法，不过需要确定出两个平面的交线才便于求解。关于几何解法，近期正在重编校本教材，会将今年高考题重新编入，也涉及到了这部分，之后关于二面角的求解的几何方法成稿后，会在公众号同大家分享一下，此处就不在赘述了。关于空间角的求解，向量法是相对常用的求解方法，所以一定要先把一种求解方法搞定，有一个“保底”的解法之后再寻求其他解法在合适的时候使用。

解答题：第18题

巨大的运算量来了！！本题的情景其实并不算太复杂，对于第一阶段的比赛，本质上就是二项分布，若有第二阶段的比赛，它对应的也是二项分布，总体来看就是基于二项分布的综合变形。第一问的概率求解，会反复涉及到互斥事件的概率，这里求解时要留心不要减错。同时本问也可以从正面和反面两个角度来思考问题。关键难点在于第二问，两个小问所求解的概率和数学期望表达起来逻辑上并不困难，根据比赛的规则分析即可。总体来看可以将过程分为两大类，第一，第一阶段三球均不中；第二，在第一阶段至少投中一球的情况下，第二阶段就直接对应一个二项分布了，不过概率前面要乘以相应的第一轮不被淘汰的概率。通过上述对过程的说明，利用p和q表示概率和数学期望即可。关键的难点在于后续作差法比较大小的代数化简，是含有两个变量的高次代数式的处理，过程中需要多次提取公因式、需要多次打开括号会涉及到变号、变号过程中不能漏项等等各种化简细节，化简过程中都需要留意。这里没有什么特别好的办法，只能踏踏实实化简了，草稿纸上对于同类项做好标注，平时适当多关注一些这样的化简问题，真是实打实的代数化简的基本功考查。这种比较复杂的作差大小的比较的问题其实新高考第一年就出现了，2020年新高考全国I卷中的第12题也是一个需要很强代数化简能力才能解决的问题，同学们可以不妨尝试一下。

解答题：第19题

本题是一个数列和圆锥曲线的综合问题，运算量与上一题相比不遑多让，尤其是在没有选择较好的方法分析问题时，就会面临更大的运算量。解析几何一直是很多同学头疼的问题，在我看来想处理好解析几何问题，能灵活转化问题的能力与“迎难而上”的运算能力（或者说意志品质吧，我总觉得解析几何很锻炼一个人意志品质）二者至少占一样，很多同学想取巧，但思维不够灵活；想蛮干，奈何代数化简能力有限，道心容易破碎。其实本题的核心思路基本都是圆锥曲线解题的思路，只是具体的一些点坐标之间的关系是成等比的，从而导致很多点的坐标形式十分复杂，进而导致本题运算量也较为惊人。第一问通过代入P1可以得到双曲线方程。再根据题目中的构造方法，可以计算得到Q1，根据对称性得到P2。第二问是本题的一个小砍，如果选择蛮干，那么就要考虑Pn、Qn（Qn坐标由Pn+1坐标进行表达）点坐标的关系了, 这里直接设出直线方程y=kx+m，由于题目分析的关系中关于两个点坐标的表达式并不对称，则不能通过韦达定理直接带入来解决，所以只能通过非对称韦达定理，用xn去表示Pn、Qn其余的三个坐标，表达出题目定义的数列，分析相邻项比值是否为定值。这就是我说的，不转化问题直接蛮干（这种解法利用了非对称韦达定理，也算是有些小技巧。这里也可以直接利用点Pn的坐标和k设出点斜式联立表示Qn的坐标，运算量更大一些，如果想锻炼化简能力可以自行练习一下），就是通过题目给出的关系不断运算，迎难而上，百折不挠。其实此处可以通过结论逆向推理，分析如果是等比数列，该满足怎样的关系，就会发现它会出现Pn、Qn横纵坐标的对应的和与差，这种形式在点差法里经常出现，所以就考虑利用点差法来处理问题，可以大量减少运算，这也就是前文提到的具有能灵活转化问题的能力。对于第二问，或者说对于很多证明某数列为等差或等比的问题，这其实是题目给出的提示，希望大家养成好习惯，证明后顺手求一下通项公式。本题是坐标之差为等比，可以求出通项公式，而通过双曲线的方程，可以知道坐标之和与坐标之差的乘积为定值，则坐标之和也是一个等比数列，这两个数列是可以表示出Pn的横纵坐标的。第三问就要利用到上述表达出的坐标了。同样这里也是两条路，一条是逢山开路遇水搭桥直接翻译条件直接算，毕竟点的坐标都有了；一条就是通过分析问题对问题进行转化。第一条路就是去计算所有的三角形面积是一个关于k的定值，面积公式的选择有很多，我用的两边及夹角正弦的面积公式，其实就是向量叉乘，后续就是算算算、化简化简化简。这种大规模的化简运算，最后最好检验一下，虽然有时候检验就是压倒骆驼的最后一根稻草。如果考虑转换问题，会发现Sn和Sn+1对应的两个三角形是有公共边的，那么这条边上的高相等，自然面积相等，而高相等，通过图形关系就会发现相当于另外两个点到公共边所在直线的距离就相等，那么它们就在公共边的平行线上（由图形可知两点不可能分布在公共边两侧），那么问题就变成了证明PnPn+3平行于Pn+1Pn+2了，运算量要比面积计算小很多。最后说一下本题第三问的背景，它其实是帕斯卡（Pascal）定理的一种特殊情况。具体的说明解析中有提及，在此不赘述，它是射影几何当中的内容，有兴趣可以自行翻阅资料。对于本题而言了解背景也不能让你直接完成题目，该证明还是要证明的，不过可以明确的发现证明方向是证明平行，而不是执着于硬算面积。