2023年韩国数学奥林匹克题目求出x的全部三个值

平露看课程学习 2024-10-28 14:48:54

这是一个有点棘手的问题,如果你忘记了代数知识,你可能会无法得到正确的答案,但即使你忘记了也不要担心,我会帮你的!

在这个问题中, x有三个值。仔细观察,你会发现 2 是x的三个值之一,因为当 2 乘以自身 3 次并将乘积加到 2 上时,结果为 10。

那么,如果x的一个值是 2,那么我们如何找到x的其他值?

拿起笔和纸,开始解这个谜题吧。如果你正确地得到了 x 的所有三个值,那就击掌吧!你是一个数学明星,但请继续关注,看看我们的方法是否匹配。如果你没有得到正确的答案,不要着急,继续往下看吧!

解决方案

xxx + x =10

为了得到该等式的更紧凑形式,我们将xxx替换为乘积x³。

x³ + x -10 = 0

有了这种形式的方程,我们可以知道,如果我们能正确地分解因式,我们可以得到更多的x值。为了分解因式,我们必须做一些操作。我们该怎么做呢?

我们可以引入立方体身份的差异吗?当然可以!

我们可以将哪个数字提升到 3 的幂次方,以便得到 10 左右的数字?

当 2 的 3 次方上升为 8 时,将结果加上 2 则得到 10。太棒了!

这样,我们可以用-8-2替换-10

新的方程变为:

x³ + x -8–2 = 0

以指数形式表示 8 可得:

x³+x-²³-2 = 0

x³-²³+x-2 = 0

从立方体身份的不同来看,

我们可以将x³-²³表示为(x-2)(x²+2x+4)

完整方程现在变成:

(x-2)(x²+2x+4)+ x-2 = 0

从这一点出发,我们可以以(x-2)为因数进行因式分解。

(x-2) [ (x²+2x+4)+1] = 0

这给了我们:

(x-2) [ (x²+2x+5)] = 0

从这一点来看,(x-2) 或 (x²+2x+5)为 0,因为左侧的一个实体必须为零,右侧才为零。

如果(x-2) = 0,则x = 2(根据问题,这是我们得到的答案)。

对于剩下的两个值,我们必须从二次方程x²+2x+5中得出它们,并且我们只能使用二次公式找到它们。

其中 a、b 和 c 在本例中分别为 1、2 和 5。

代入这些值并进一步求解,我们将得出:

x = -1 + 2i或x = -1 -2i

其中i等于-1的平方根(来自复数的概念)。

非常感谢你的阅读!希望你喜欢这个谜题。

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