井田问题图

一块不规则四边形的田地，如图1中的 ABCD ．在每条边上都取三等分点，再把两双对边上的三等分点连起来，成了一个井字形．井字把这块田分成9小块．由于四边形不规则，这9小块的面积有大有小．但是，巧得很，无论如何，正中间那一块的面积，恰是四边形 ABCD 面积的九分之一！

但要证明这个有趣的断言，却不是那么容易．

面前有一个难题，它又十分有趣．不做不甘心，做又太难．怎么办呢？有一条十分有用的规则：

"如果当前的问题太难，你就做一个比较容易的类似的问题．"

我们退一步，先解决一个简单一点的问题：在图1中，能不能证明中间长条的面积——四边形 KLGH 的面积是 ABCD 面积的三分之一呢？

这并不难：

紧接下图

一个比较容易的题目完成了，进一步想：既然 KLGH 的面积是四边形 ABCD 的三分之一，如果再证明 MNOP 的面积是 KLGH 的三分之一，难题不是也解决了吗？

但要证明这一点，还得先证明 M 、 N 是 LG 的三等分点， P 、 O 是 KH 的三等分点．为此要考虑题目：

紧接下图

这表明△ GEJ =2△ LEJ ，从而 MG =2ML，即 M 是 LG 的三等分点．同理， N 是 LG 的三等分点， P 、 O 是 KH 的三等分点．

这样，一个难题被我们化整为零地解决了．问题没有解决之前，要退一步想．问题解决之后，要进一步想·进一步想什么？至少有几个方面可以考虑：

(1）能不能做更难、更一般的问题？

(2）同样的问题，能不能做得更简单、更

漂亮？

(3）从解题过程中，能总结出一些经验、

方法吗？

更一般的问题，更难的问题，是容易提出来的．例如，三等分点可以变成五等分点，或者横着三等分，竖着五等分；也可以考虑，如果是四等分，六等分，问题怎么提法；还可以问，除了中央那一块，其他8块的面积能不能计算？如不能算，加上什么条件就可以算了？等等，都不妨考虑．

想把问题做得更简单，更漂亮，是很不容易的．因为问题往往无从下手．如果一时想不到办法，可以慢慢琢磨，不必急于求成．

最重要的是总结经验和方法．有了经验和方法，难题也就不怕了，好的解法也就容易想到了。

把这种计算方法总结一下，便得到一个十分有用的公式：

定比分点公式

设线段 PQ 不与直线 AB 相交， T 在线段 PQ 上并且 PT ＝λ PQ ，如图4,则

△TAB＝λ△QAB +(1﹣λ)△PAB .

有了定比分点公式，要解决刚才提出的井田问题就一点不难了．我们甚至有一般的办法，例如：

证明 应用共边定理和定比分点公式

有了例3的结果，马上可知在图1中， M 、 N 是 LG 的三等分点， P 、 O 是 KH 的三等分点．这时，井田问题当然容易解决了．

以上内容选自张景中著《新概念几何》，中国少年儿童出版社。

解析几何教科书可以找到定比分点坐标公式如下图所示：

到了高中，我们会学到：

老师的板书很漂亮：

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。