流形（manifold）是一种数学概念，它描述了在局部看起来像欧几里得空间（如平面或者空间）的拓扑空间。换句话说，流形是一个可以在局部范围内近似为欧几里得空间的空间。

流形在几何、拓扑学、微分几何以及物理学等领域具有广泛的应用。举例来说，地球表面是一个二维流形的例子。尽管地球表面是一个三维空间的曲面，但在局部范围内，地球表面看起来是平坦的。这意味着在小的区域内，我们可以使用二维坐标系（如纬度和经度）来描述地球表面上的点。

流形的一个关键特性是它们可以被局部地赋予坐标系统。这使得我们可以使用微分和积分等数学工具在流形上进行计算。在物理学中，流形的概念被用于描述空间和时间的结构。例如，在广义相对论中，时空被建模为一个四维的弯曲流形。

欧几里得空间由ℝⁿ表示。欧几里得空间具有一些显著的特性：

平行线之间的距离不会变得更近或更远。

勾股定理a²+ b²= c²成立。

三角形的内角之和为180°。

沿任何方向行进，你会在这个方向上离起点越来越远，但沿相反方向行进，你会回到起点。

两点之间的最短路径是一条直线。

我们可以通过以通常的方式定义向量加法和标量乘法，将欧几里得空间转换成一个向量空间。

我们还可以在欧几里得空间中对向量进行点积（内积）运算。

欧几里得空间有一个无与伦比的优势，我们可以在上面轻松地定义和理解导数、积分等微积分概念，以及在此基础上解决各种实际问题。

非欧几里得空间是指与ℝⁿ（欧几里得空间）不同的空间。在非欧几里得空间中，一些在欧几里得空间中直观和简单的性质可能不再成立：

平行线可能相交

勾股定理可能不成立。

一个三角形的角度（用量角器在表面上测量）可能不等于180°。

沿任何方向行进可能会让你回到原点（想象在球面上绕行），或者可能让你接近但并非精确回到起点（这就很复杂了，我们后面的文章讲）。

两点之间的最短路径可能是测地线，但更一般地说，甚至可能不存在最短路径。

你几乎肯定无法将这个空间构建为一个向量空间，这意味着我们无法用微积分这个强大的工具进行计算。

在许多情况下，我们可以通过将非欧几里得空间划分成较小的区域，然后将这些小区域近似为欧几里得空间（平坦空间）来简化问题。例如，在城市尺度下观察地球表面时，地球表面看似相当平坦，尽管实际上它是一个球面。如果一个空间在所有点上都能被欧几里得空间近似，那么我们就说它是局部欧几里得空间。

邻域

一个邻域是指与给定点“接近”的一组点。如何定义“接近”的含义取决于你所处理的拓扑空间，但邻域有一些明确的特征。直接处理邻域可能会令人烦恼，因此我们改用开集来处理。

开集

开集的概念来自拓扑学，它有助于我们更简单地处理空间中的邻域问题。这里提到的三条规则是定义开集的基本性质。

空集∅和整个集合X都是开放的：这意味着在拓扑空间中，空集和包含所有元素的集合（整个空间）都被认为是开集。

任意开集的并集都是开放的：这意味着，如果你有两个或更多的开集，将它们合并在一起形成一个新集合，这个新集合仍然是开集。

有限多个开集的交集是开放的：这意味着，如果你有有限个开集（例如2个、3个等），将它们的交集形成一个新集合，这个新集合仍然是开集。需要注意的是，这里只针对有限个开集，因为无限个开集的交集可能不再是开集。

通过这三条规则，我们可以更简洁地描述和操作拓扑空间中的开集，从而简化对空间结构的研究。

我们首先要弄清楚什么是局部欧几里得空间。

局部 X

当我们说某物是“局部 X”，我们的意思是我们总是可以在空间中找到一个点的开邻域，其中 X 适用（无论我们选择什么点）。在流形的情况下，这意味着我们可以观察流形的各种连续区域，而不是试图一次考虑整个流形。

局部欧几里得

局部欧几里得是指在一个空间中，对于任何一个点，我们都可以找到一个包含该点的邻域，在这个邻域内，空间的性质近似于欧几里得空间。换句话说，在局部范围内，这个空间可以看作是平坦的或与欧几里得空间相似。因此，我们可以取流形的一部分，通过“将其展平”使其成为欧几里得，然后对其进行欧几里得操作。

由于早期的微分几何学大部分涉及地球仪的制图，因此我们称所考虑的区域为图表（charts）。（图表的其他名称包括坐标图表、坐标片、坐标映射或局部坐标系。）

图表

正式地讲，一个图表是从一个流形的开子集映射到欧几里得空间的开子集。这里，“开集”指的是拓扑学中所见的开集。换句话说，一个图表需要告诉你它试图将哪个区域展平以及如何展平它。

图集

为了描述一个流形，我们需要使用一组图表来覆盖整个流形。每个图表都是一个从流形的一部分映射到欧几里得空间的函数。通过将许多这样的图表组合在一起，我们可以覆盖整个流形。这就是图集的概念，它是指一组图表，这组图表覆盖了整个流形。因此，为了描述整个流形，我们需要至少有一个图表覆盖每个点，并且这些图表一起构成一个图集。

技术上来说，这不是一个图集，因为缺少一些小区域，主要是在赤道附近。

图表重叠

虽然我们几乎可以肯定地设计出不重叠的图表，但这样做可能会很困难、繁琐，而且并不必要。相反，只要两个图表不会导致任何矛盾，我们就允许它们重叠。为了确保没有矛盾，我们说如果两个图表覆盖了同一个点，那么应该有一种方法可以从其中一个图表到达另一个图表，反之亦然。执行这种转换的函数称为过渡映射（transition map）。换句话说，过渡映射将我们从一个图表上的一个点带到另一个图表上的一个点。

图表1（φ₁）将流形M上的点x映射到ℝⁿ中的点p，图表2（φ₂）将流形M上的点x映射到点q，过渡映射ω₁₂和ω₂₁将点p映射到点q，反之亦然。

过渡映射强制要求两个重叠的图表在它们重叠的区域中对空间具有相同的描述。

原则上，过渡映射可以是任何东西，但我们总是希望对它们施加一些限制。如果过渡映射在任何地方都有导数，我们就称该流形为可微流形。拥有可微流形意味着空间在局部上足够类似于向量空间，我们可以对其进行导数运算。如果我们可以对过渡映射进行任意多次导数运算，我们就称该流形为光滑流形。如果过渡映射是解析的，那么我们就拥有了一个解析流形（换句话说，如果我们可以用无限可微的幂级数来表示流形上的任意函数，那么这个流形就是解析流形）。对于流形上的积分，我们只关心光滑流形。如果我们要做类似泰勒级数的事情，我们会想要一个解析流形。所有解析流形都是光滑流形，而所有光滑流形都是可微的。

豪斯多夫空间（Hausdorff空间）是拓扑学中的一个重要概念。在这种空间中，任意两个不同的点都可以被不相交的开集（开集是不包含其边界的集合）分开。换句话说，在豪斯多夫空间中，我们可以找到两个开集，使得一个包含其中一个点，另一个包含另一个点，而这两个开集之间没有交集。

豪斯多夫空间的概念是由德国数学家Felix Hausdorff提出的，他在20世纪初为了研究拓扑性质而引入了这个概念。豪斯多夫空间在现代数学中被广泛接受，因为它满足许多直观的性质，这使得在这类空间中的拓扑研究更容易进行。

例如，在欧几里得空间（如平面或三维空间）中，我们可以找到两个不相交的开球，分别包含两个不同的点。因此，欧几里得空间是豪斯多夫空间的一个例子。同样，实数轴、复数平面等也都是豪斯多夫空间。

需要注意的是，并非所有的拓扑空间都是豪斯多夫空间。在一些特殊的拓扑结构中，可能无法找到不相交的开集来分离任意两个点。这些空间通常具有非常特殊的性质，并在某些数学问题中发挥着重要作用。然而，豪斯多夫空间在拓扑学和其他数学分支中仍然是最常见和最重要的类别之一。

我们要在流形上做微积分，但只有在有明确定义的极限的情况下才能做微积分。

带有两个起点的直线

为了找出如何确保我们始终得到明确定义的极限，最好看一下一个极限失效的空间。因此，我们将研究带有两个起点的直线。

具有两个原点的直线是一种特殊的数学结构，它并不符合传统的直线定义。考虑两个实数轴 R1 和 R2，它们分别具有原点 A 和 B。现在，我们将这两个实数轴连接在一起，但不将原点 A 和原点 B 合并。为了实现这一点，我们可以使用集合论的概念。定义一个新集合 X，其中 X = R1 ∪ R2。在这个新集合中，我们将原点 A 和原点 B 视为两个不同的点，即使它们在其他方面与实数轴上的 (0, 0) 点相同。

在这个构造中，我们实际上创建了一个拓扑空间，它包含两个实数轴的所有点，但原点 A 和原点 B 保持不同。我们可以将其视为一条具有两个原点的直线，每个原点都与另一个原点重叠，但它们仍然被视为两个独立的点。

具有两个原点的直线不属于豪斯多夫空间。原因在于，我们无法找到两个不相交的开集分别包含这两个原点。在这个拓扑空间中，这两个原点在其他方面都与实数轴上的 (0, 0) 点相同，因此它们在数学意义上无法被分开。这种具有两个原点的直线在数学分析中可以作为一种特殊情况来研究，有助于更好地理解极限、连续性等性质。这种特殊的拓扑结构可以帮助我们理解一些函数在特定条件下的行为，尽管它并不是一个豪斯多夫空间。

如果我们仅要求我们的空间是局部欧几里得空间和豪斯多夫空间，我们将得到一个拓扑流形。虽然拓扑流形可能很有趣，但我们仍然无法保证在空间上进行积分。

在这种情况下，我们需要引入更多的结构，以便可以在这些空间上进行积分和其他操作。

我们可以计算什么？

我们定义的积分只能在欧几里得空间的区域内进行，在计算积分时，我们需要估计一个函数在给定区域上的总和或体积。为了实现这一目标，我们将区域划分成许多小的、更容易处理的部分，然后对这些部分进行求和。这些小部分通常由每个维度上的向量定义的平行六面体组成。

为了构建这些向量，我们需要处于一个向量空间，实际上这意味着我们需要处于欧几里得空间。由于我们至少在处理拓扑流形，我们可以取空间的任意图表，将其映射到欧几里得空间，然后在其上进行积分。如果我们在整个空间上这样做并将结果相加，那么我们应该得到整个空间上积分的近似值。为了获得更好的近似值，我们缩小图表的大小，因为较小的图表具有较小的失真。

重叠图表

虽然在实践中，你通常通过将流形分解为不重叠的图表来对其进行积分，但我们希望允许图表重叠，因为尝试定义一个非重叠图表的图集可能很困难。如果我们允许图表重叠，只需将每个图表上的积分相加，我们将在多个图表覆盖的区域中多次计算贡献。

一个例子

在这里通过一个例子来说明为什么我们会多次计算贡献以及如何解决这个问题是最好的。假设我们想要在一个圆上积分某个函数 f(θ)。例如，我们可能希望根据给定的电荷密度计算一个环上的总电荷。

在这个例子中，铜环表示带电荷的环，灰色区域的高度表示该点处的电荷密度。

假设我们有以下四个图表。

如果我们使用图表来计算积分，我们得到的结果将是预期的两倍，因为圆上几乎所有点都恰好被两个图表覆盖。这导致了重复计算，使得结果偏离了正确值。

在这个例子中，我们可以通过除以2来解决重复计数的问题。如果我们选择以下给出的图表，我们可以更准确地计算积分，避免在相交区域中的贡献被多次计算。

然后我们无法通过乘以或除以一个常数来修正计算，因为不同部分被计算的次数不同。

我们需要一种更好的方法来处理重叠图表，以便我们可以正确地计算积分。当前的方法可能会导致一些问题，例如广义斯托克斯定理的失效。因此，我们需要寻找一种新的方法来解决这个问题，而不是简单地将函数除以一个新函数。

分区的统一性定义

分区的统一性背后的思想是，我们可以使用它将一个函数的一部分分配给每个图表，以使所有部分相加得到整个函数。换句话说，我们可以将一个函数在多个图表上的贡献分解开，然后将这些部分加起来，以获得整个函数。这样，我们可以在处理相交图表时，更准确地计算积分。

为了实现这一目标，我们需要找到一组连续的函数，这些函数在拓扑空间上定义，并满足以下条件：

对于每个点，存在一个邻域，在这个邻域内只有有限个函数是非零的。

对于任意点，所有函数在该点的值之和为1。

通过使用分区的统一性，我们可以在处理相交图表时，更准确地计算积分，避免不连续性和重复计数的问题。

创建有用的统一分区

创建有用的分区统一性意味着我们要构建一组特定的函数，以便在处理相交图表时能够更准确地计算积分。首先，我们为每个图表定义一个新函数，这些函数有以下特点：

在图表中为正值；

在其他地方（包括图表的端点和图表之外）为零；

在任何地方都是连续的（或者如果我们想要更严格，可以是光滑的）。

我们要求这些函数在所有地方都是连续的，这样在处理它们时就更简单。我们要求它们在图表之外为零，以便我们可以专注于在图表上的积分。最后，我们要求它们为正值，这样我们就不必担心这些函数之和为零。我们将这些函数称为ψᵢ(θ)。

然而，这些函数并不构成一个分区统一性，因为它们对于所有输入的和不为1，且它们的输出超出了区间[0, 1]。为了解决这个问题，我们可以通过将它们除以它们的和来对这些函数进行归一化。这样，我们就可以得到一组满足分区统一性条件的函数，从而更准确地计算相交图表上的积分。

集合 { ρᵢ(x) } 是我们的分区统一性。这意味着我们已经得到了一组满足分区统一性条件的函数ρᵢ(x)，这些函数可以帮助我们更准确地计算在相交图表上的积分。对于每个图表，我们都有一个对应的ρᵢ(x) 函数，满足：

ρᵢ(x) 的值在区间 [0, 1] 之间；

ρᵢ(x) 在相应的图表上为正值；

ρᵢ(x) 在图表之外为零；

对于任意点 x，所有函数ρᵢ(x) 的和为1；

在每个点 x 的邻域内，仅有有限个ρᵢ(x) 函数为非零。

这些条件使得分区统一性成为一种有效的工具，可以用于处理复杂的积分问题，尤其是在拓扑流形上。

引入分区统一性解决了多个图表重叠导致的重复计数问题，但引入了另一个问题。我们只能真正加上可数个事物。为了处理不可数的事物，我们必须进行积分，那太费劲了。

为了解决这个问题，我们要求流形上的图表满足局部有限开覆盖（locally finite open cover）的条件。局部有限开覆盖是指每个点都被有限数量的开集覆盖。接下来，我们要求无论我们想让图表多小，我们都应该能够找到局部有限的开覆盖，这使得空间成为亚紧凑的（paracompact）。

将所有这些内容结合起来，我们可以定义在流形上的积分。

首先，我们定义一个可数数量的图表，使得流形上的每个点都被有限数量的图表覆盖。

然后，使用上面提供的方法创建一个有用的统一分区。

接下来，我们将函数f(x)与统一分区中的每个函数相乘，得到一堆函数ρᵢ(x) f(x)。

然后，我们将每个图表展开，并在相关的图表上对ρᵢ(x) f(x)进行积分。

最后，我们将所有结果相加。

这个过程就是正式的流形积分过程。形式上，这个过程如下：

其中M是流形，ω是某种微分形式，Rᵢ是第i个图的域，ρᵢ是对应于第i个图的统一分区中的函数。