克莱因谈微积分(上)

领悟飞逝的瞬间：微积分(上集)

当牛顿看见一个苹果落地时，他从沉思中大吃一惊，然后发现了——据说是这样(我不对在世的任何伟人的信念或论断负责)——地球按最自然方式运行的原因，并将之称为“万有引力”。这是从亚当开始，惟一一位能把握物体下落、苹果坠地原因的凡人。

L·拜伦(Lord Byron)

推导出大量的宇宙定律，无疑地必须等待这样的时代：准备好在这方面的思想，产生诸如像笛卡儿、伽利略、牛顿这样能开创、指引近代科学活动的目的和方法的领袖。但也必须等待创立一个必不可少的工具——微积分，如果没有这一点，那么推导宇宙定律也的确不可能。对于17世纪的天才们开发的所有知识宝藏而言，正是这一领域被证明是最丰富的。除了在推导我们已经讨论过的许多宇宙定律方面的价值以外，微积分为创立许多新的科学领域提供了源泉。

与一般的观点——认为天才从根本上讲与其所处的时代势不两立——相反，17世纪三位最伟大的思想家，费马，牛顿和G·W·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)，虽然彼此相互独立地从事研究，但逐渐地都被微积分的问题深深吸引了。费马在法国从事研究，牛顿在英国，而莱布尼茨则在德国。这些杰出天才中的第三位，我们才刚刚提到他，他于1646年出生于莱比锡，15岁时进入莱比锡大学，明确选择的目标是学习法律，但却以无限的兴趣学习一切东西。在离开莱比锡不久，他写的一篇法律方面的论文引起了迈因茨(Mainz)选帝侯的注意，选帝侯决定聘请莱布尼茨当外交官。遗憾的是，这一时期他从事研究的时间非常有限，因为贫穷，迫使这位才华横溢的青年不得不为德国王室四处奔波。1676年，他被任命为汉诺威(Hannover)选帝侯的顾问和汉诺威图书馆馆长，尽管仍需要他为外交事务花费大量的精力，但允许他有一些空闲的时间了。这样，在空闲时间里，他写下了多达满满25大卷的著作、论文和信件，包括了其在法律、宗教、政治、历史、哲学、生理学、逻辑学、经济学，当然还有在科学和数学方面所作出的卓越贡献。他那无与伦比的天才和广泛的兴趣，被人们称赞道：“他本身就是一所科学院。”

许多才华横溢的数学家已经在微积分研究方面取得了一定的成就。因此，费马、牛顿、莱布尼茨的工作，就是他们先辈们一系列漫长努力的积累和继续。显然，无论每个天才的贡献多么巨大，其思想的精神都受时代的约束。天才们的贡献就是，使得特定时代的认识和丰富的思想得到激发和升华。他们使得社会思想成为资本，而随后的几个世纪都将从中获取极大的收益。

无论关于天才与其时代的关系这一问题的结论怎样，这一点却是无疑的：那就是，微积分的概念是在17世纪特有的氛围中，即发展到实际上是在牛顿的朋友与莱布尼茨的朋友之间，就有关是否从英国将牛顿的思想传给了莱布尼茨的争论之中产生的。由这场争论所引起的感情破裂如此之深，而且在这门最富有理性的学科中研究的学者们对其领袖的尊崇如此之甚，使得在牛顿、莱布尼茨去世后的长达百余年时间里，英国数学家和欧洲大陆的数学家们停止了思想和通信联系。每一方在评价对方的工作时，所使用的语言并非总是严肃、理智和有礼貌的。莱布尼茨倒是对这种争论给出了一个非常宽厚的评论，他说，如果我们把有史以来直到牛顿所生活的时代作为一个整体，来分析数学的发展，那么可以说，其中一半以上较好的成果都属于英国人。

在费马、牛顿和莱布尼茨从事研究的时期，全欧洲的数学家都团结一致，企图解决一系列问题，这类问题都与一种特殊的困难——变量的瞬时变化率——有关。在考察这三个人的卓越贡献之前，我们必须弄清楚他们所面临的问题的本质。

在处理变量，也就是连续变化的量时，必须将变化(change)与变化率(rate of change)两者区分开来。当一颗子弹在空中飞行时，子弹飞行的时间和距离都连续增加；但是，在它击中一个人之前的那一瞬间，重要的却是子弹的速度，即距离与时间之比的变化率，而不是子弹已经运行的时间和距离。如果速度是每小时一英里，那么子弹将平安无事地落在那人脚下的地面上。如果速度是每小时一千英里，那么这个人将会被击倒在地，一命呜呼。明显地，变量的变化率，至少与它们正在变化这一事实具有同样重要的意义。

在变量的变化率中，我们必须将如下两类区别开来：平均变化率和瞬时变化率。如果一个人驾驶汽车从纽约城前往费城，两城相距90英里，他花去了3个小时，那么他的平均速度，也就是距离与时间之比的平均变化率，是每小时30英里。但是，明显地，这个数字并不一定代表在这段旅途中他在任何一个特定的瞬间，比如说在3点整时的速度。现在假定在一个瞬间，精确地说是在3点整，驾驶员看汽车速度计，注意到指针读数是每小时35英里。这个量就是一个瞬时速度：也就是，它是在3点整的距离与时间之比的变化率，但是，它并不一定是在这之前或以后任何时刻的瞬时速度。我们可能会争辩说，在一个瞬间，没有这样一类的速度，因为在一瞬间没有消耗时间，因此不可能有运动。现在，我们将简单地用物理实验来证明这样的结论：一个正驾驶着一辆汽车旅行的人，在每一个瞬间都有一个确定的速度，在任何一个这样的瞬间，汽车都可与一棵树相撞，这个实验将肯定会使持怀疑态度的人深信不疑。

在别的情况下，使用平均速度这一概念也就够了，但当物体以变速运动时，首先就产生了需要处理瞬时速度的问题。当时，变速运动正是17世纪科学家所面临的主要问题。例如，开普勒第二定律所描述的一颗行星的运动，就不是像希腊人和其他文艺复兴以前的科学家所认为的那样是以一恒速度运动，而是以一个连续变化的速度运动着。类似的，按照伽利略的理论，靠近地球表面的物体的上升和下落，在其运行过程中的速度也连续变化。单摆运动和抛物运动，它们在那个时代被人们认真仔细地研究过，也与变速有关。在处理这些运动时，科学家们缺乏对瞬时速度的精确清楚的认识，除此之外，也缺乏计算瞬时速度的某些方法。

应该清楚地认识到，用求平均速度的方法，我们得不到瞬时速度，因为在一瞬间，物体运行的距离是0，所花的时间也是0，而0除以0无意义。稍微思考一下这个问题，读者们将会相信，只有利用一种非同寻常的方法，才能成功地定义和计算出瞬时速度。为了解决这一问题，费马、牛顿、莱布尼茨充分发挥了他们的天才。

首先，我们简单地描述一下他们所使用的方法。我们已经看到，如果一辆汽车在下午两点离开纽约，下午五点抵达费城，那么它在这段旅程中的平均速度，就是它所运行的距离90英里，除以它走完这段距离所花费的时间3小时，即平均速度是每小时30英里。汽车在3点整的速度，我们能说是多少呢？很清楚，尽管平均速度是每小时30英里，但在3点整的速度可能是每小时40英里，或者几乎可以是任何其它数字。我们期望，通过考虑在3点整前后一段较短时间内的平均速度，得以回答这个问题。这样，如果汽车在3点整前后1分钟的时间里运行了0.6英里，那么它在这1分钟内的平均速度就是0.6英里除以1分钟，即每小时36英里。这是在3点时的平均速度吗？

尽管1分钟是一段相当短的时间间隔，但在这1分钟内的平均速度仍然可能与恰恰在3点这一时刻的速度有很大的不同，因为汽车在这1分钟内仍可以加速或减速。让我们缩短在3点整前后时间间隔的长度，再计算出在这段时间内的平均速度。现在，我们可以计算出在1秒钟内的平均速度，或者1/10秒，1/100秒内，等等很小的时间间隔内的平均速度。所计算的平均速度的时间区间越短，则在这段时间内的平均速度将与在3点整的速度越接近。

假设当愈来愈靠近3点整的时候，所取的时间间隔也愈来愈小，计算出的平均速度为36，35又½，35又¼，35又⅛，等等。因为当在3点整附近的时间间隔越来越小时，则在这些时间间隔内的平均速度应该越来越逼近在3点整时速度的准确值，我们定义在3点整这一时刻的瞬时速度是：当时间间隔趋于0时，平均速度所趋近的那个数值。在这样的平均速度的情况下——为36，35又½，35又¼，35又⅛，等——可以设想这一系列数趋近35，所以我们取35为3点整的瞬时速度。应该注意，瞬时速度不是由距离除以时间的商来定义的，而是我们引入了平均速度趋近一个数值的思想。

现在，我们可以考虑给出求瞬时速度方法的一个更精确的描述了。我们观察一个真实存在的公式，该公式描述的是自由落体下落的距离与其下落时间的关系，来计算一下当一个球下落第3秒钟末时，它的瞬时速度是多少。按照伽利略定律，以英尺为单位的下落距离和以秒为单位所用的时间，两者的关系是

d=16t² (1)

到第3秒末时所下落的距离，用d₃表示，因此在这个公式中用3代替t，就得到

d₃=16·3²=144

现在不像计算在3点整前后的汽车平均速度一样，我们不去计算在第3秒钟末前后每一时间间隔的平均速度，而是采用下述更为有效的方法。

让h表示任何时间间隔，这样3+h就表示比3秒钟增加了一个量h的更大的新的时间间隔，为了求出在3+h秒钟内球下落的距离，在公式(1)中替换这一时间值。我们知道，新距离不会再是144，而是一个不同于d₃的值，我们记这段新距离为d₃+k，此处k是在增加的h秒内，球下落运行增加的距离。这样

d₃+k=16·(3+h)²

将(3+h)²展开，我们得到

d₃+k=16(9+6h+h²)

现在将括号中的每项乘16，结果是

d₃+k=144+96h+16h² (2)

在3秒钟末时，球下落的距离是

d₃=144 (3)

为了得到k，即在h秒钟内的距离的变化量，我们将方程(2)减去方程(3)。这一运算的结果是

k=96h+16h² (4)

现在，就如同通过由90英里除以3小时得到汽车的平均速度一样，我们可以用在h秒内所运行的距离k，除以这段距离所花的秒数h，得到在h秒内的平均速度。这样，如果我们在公式(4)的两边同时除以h，我们得到

k÷h=96+16h (5)

从公式(5)，我们看到在3秒钟后的h秒的间隔内，平均速度k÷h是h的函数，这个函数是96+16h。当h变得较小时，k÷h就表示从第3秒末开始测量的一个越来越小的时间间隔内的平均速度。我们在上面已经认可，取平均速度所趋近的那个数值，作为在第3秒末的瞬时速度。因此我们所需要的是，当h趋近0时，k÷h所趋近的那个值。当h趋近0时，16h趋近0；这样，从公式(5)的右边，我们能够看到，k÷h趋近96这个值。因此，在第3秒末的瞬时速度为96英尺/秒。这是真空中任何物体下落3秒钟末时的速度。

应该注意到，为了确定96作为瞬时速度，我们看一看当h趋近0时，公式(5)的右边的情形。我们的推理是，当h变得越来越小时，96+16h则越来越趋近96。这个过程与直接将h换为0的思想过程是不同的，尽管事实上，在这个简单函数的情况下，通过作这种代换所得到的结论是相同的。

让我们来看看为什么思想过程不同。当h是0时，k也是0，因为k是球在时间h内所运行的距离。当h是0时，k÷h=0÷0，这是一个无意义的表达式。因此，认为通过将0替换k÷h表达式中的h而得到第3秒钟末时的速度，这一说法是不正确的。但是，为了求出平均速度所趋近的这个数值，而在计算平均速度时又让时间间隔趋于0，这样在逻辑上是严密的。而且，正是由于引入了这一思想，才消除了瞬时速度概念中的重重困难。当然，计算平均速度没有什么困难，因为它们总是关于不为0的时间间隔的。

现在，我们有了一个瞬时速度的概念。这是一个当时间间隔趋近于0时，平均速度所趋近的数值。具有同样重要意义的是，借助有关距离与时间的公式，我们有了一种计算瞬时速度的方法。顺便提一下，我们应该注意到，如果计算的是在t秒末的速度而不是3秒末的速度，那么，我们所得出的速度v就等于32t。这样，我们能得到在任意时刻t的速度公式。

我们刚才所考察的过程具有数学的特征。为了处理瞬时速度概念，数学家们已经将空间和时间理想化，所以他们能说，在空间中任意时刻某些位置存在某些事物。这样，他就得到了在一个瞬间的速度，初学者发现，自己的想象力和直觉被局限于瞬间、点和在某一个时刻的速度这些概念之中了，他可能宁愿说在某些非常小的时间间隔内的速度。但是，通过这种理想化，数学就不仅仅产生了一个瞬时速度的概念，而且给出了公式，这比在一个充分小间隔内的平均速度的思想更精确，同时应用起来更简单、容易。想象力可能受到了限制，但知识却增加了。通过引入似乎困难的思想，但它却使真正复杂的难题得以简化，并且解决起来更容易，这是关于数学的一个悖论，这一点我们在其他方面已经遇到过。

定义和计算瞬时速度的方法，实际上比到现在为止所讨论的情形具有更为广泛的用途。d代表距离，t代表时间，但仅就数学方面来说，对d，t并没有作特殊的要求。这些量可以有任意的物理意义，从而我们可以利用计算在某一时刻的距离与时间变化率相同的数学程序，去计算一个变量对另一个变量的变化率。例如，如果d表示速度而t表示时间，我们就可以计算出在某一时刻的速度对时间的变化率，这个速度的瞬时变化率就是瞬时加速度。另外一个例子，大气压强随着地球表面的高度而变化；对于这个函数，我们能够计算出，在任意给定的高度，压强与高度的变化率。或者，如果变量d代表商品的价格，t代表时间，这样，我们能够计算出在任何时刻价格对时间的变化率。这样，上述方法可以使我们能够定义、计算成千上万种具有重要意义、有用的一个变量相对于另一个与其数值有关的变量的变化率。偶尔，所有这些变化率都被认为是瞬时变化率，尽管事实上时间并不是一个相关的变量，这是由于最早有关速度、加速度的计算问题，的确与时间有关，而且有关于时间瞬时的变化率。于是，微积分可以定义为这样一门学科，它处理的是一个变量对另一个相关变量的瞬时变化率概念，这个概念具有各种各样的应用。

一个变量对另一个变量的瞬时变化率，通常用一个特殊符号来表示。这样，如果两个变量是y和x，那么一个通用的符号是dxy，读作y对于x的导数(另外一个普遍采用但易使人误解的符号是dy÷dx)。这两个符号是数学语言具有的简明性的极好例证。利用很简短的一句话，这个符号描述了求出变量y对于另一个变量x的瞬时变化率的整个运算结果。我们现在知道，在这里所包含的内容是多么丰富。明显地，利用这样的符号，比利用x表示一个未知数前进了一大步。高等数学不同于初等数学的地方，部分地就在于利用了这种非常有效的符号来表示复杂的概念。

注释：原文用分数线代替本文的除号÷。dy比上dx表示无穷小量函数与无穷小量自变量之比，亦即微商（导数）。在图像上表示变化率，如果指定某一点x，就是函数在这一点的变化率（斜率）。dy/dx是一个符号，但又是一个表达式。dy：表示一般函数无穷小量。dx：一般表示自变量无穷小量。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

到现在为止，在利用以上提到的瞬时变化率的概念时，我们能够从关于两个变量关系的公式着手，然后再求出变化率。假定给出了一个变量对另一个变量的变化率，那么反过来，求出关于这两个变量公式的逆过程又有什么价值呢？当然，求变化率的逆问题的重要性，取决于知道在开始时某些重要的变化率。幸运的是，这些信息在自然现象和人为现象中能很容易地获得。由此出发，我们就能获得公式并求出许多问题的解。下面考察一个实际情况。

假定我们对找出两个变量之间的公式感兴趣，具体地说，是关于一个物体下落的距离和物体下落这段距离所花的时间的公式。牛顿定律的一个逻辑上的结论，如我们在上一章所证明的那样，就是自由落体的加速度是常数。即速度对时间的变化率在每个时刻都相同。由伽利略所做的简单实验证明了，这个常数的值是32英尺/秒²。用符号表示，如果a代表加速度，即有

a=32 (6)

在地球地面上方的所有物体，如盘旋于落基山脉上空的飞机，从枪口射出的子弹，扔向空中的球，都有这个向下的加速度。

既然a是速度对时间的瞬时变化率，因此可以认为它来源于一个关于速度v和时间t的公式。如果能够找到这个公式，那么就给出了以时间t作变量的一个速度表达式。通过求变化率的逆过程，我们可以得到这个公式。我们不难接受这样的事实，关于速度和时间的公式是

v=32t (7)

或者我们能通过求v对于t的变化率检验这个结论，或者从这一检验中看到公式(6)。但是，公式(7)并不是我们问题的答案，因为这个公式给出的是，在任意时刻物体下落的速度与它已经下落的时间表示出来的关系式，而我们需要的是距离与时间两者之间的关系。但是，速度是距离对时间的变化率。因此，为了求出物体在t秒钟内下落的距离，我们必须对公式(7)所表示的瞬时变化率，找出一个新的公式。再一次利用求变化率的逆过程，我们得到了关于物体下落的距离d与物体下落花去的时间t的公式，结果是

d=16t² (8)

通过证明d对于t的变化率是公式(7)，我们可以相信这个结果。这样，通过两次求瞬时变化率的逆过程，就能求出自由落体所运行的距离与时间的相关公式。

在最容易求得变化率的一类问题中的另一个例子，可能会更足以表明从变化率求出公式的重要性。牛顿第二运动定律——这个定律被用作物理学中最基本的研究基础，就是一个关于变化率的问题。其内容是：作用于一个物体上的力，等于物体的质量乘以物体运动的加速度。当力已知时，这条定律就成了关于加速度即关于速度对时间变化率的命题。这样，通过一些我们在上述从式(6)到(8)的过程，就能求出在这个力作用下，距离和时间相互关系的公式。经常一个通过变化率的逆过程得到的公式，若用其他任何方法，是不可能求出的。

与瞬时变化率有关的表达式，通常写出方程的形式，例如写成(6)和(7)的形式，它们被称为微分方程(differential equations)。微分方程表示的是关于一个变量对另一变量的瞬时变化率的一些情况。从微分方程中求出关于这些变量的公式的过程称为求解方程。正是通过求解一个著名的微分方程，牛顿很容易地就推导出了开普勒定律。由于微分方程已经被证明是表达和发展科学及其思想的最有效工具，所以人们认为大自然和上帝通过微分方程来“说话”。

未完待续