§4.7利用二次函数的图象解一元二次不等式

在第一章里，我们曾经学过利用因式分解的方法解一元二次不等式。例如，要解不等式

x²-2x-3<0. (1)

可以先把二次三项式x²-2x-3分解成因式，得到

( x +1)( x -3)<0.

由此可以知道不等式的解是

-1<x<3.

用同样的方法，我们还可

以知道，不等式

x²-2x-3>0 (2)

的解是

x <-1和 x>3.

这两个不等式的解，我们也可以从二次函数

y=x²-2x-3

的图象（图4.21）上看出来．

在图里，抛物线 y=x²-2x-3和 x 轴交于两点 A (-1,0), B (3,0)。我们看出，当x取大于﹣1而小于3的值的时候，图象在x轴的下方，这时的函数值是负数，就是

x²-2x-3<0,

因此﹣1<x<3是不等式（1）的解。我们还看出，当 x 取小于-1或者取大于3的值的时候，图象都是在x轴的上方。这时函数所对应的值都是正数，就是

x²-2x-3>0,

因此 x <-1和 x>3是不等式(2）的解。

利用函数的图象解不等式，叫做不等式的图象解法．

例1.利用图象解不等式

2-2x-x²>0.

【解】用﹣1乘不等式的两边，得到

x²+2x-2<0.

作函数 y=x²+2x-2的图象（图4.22).

从图中可以看出，抛物线与x轴相交于两点，它们的横坐标

x₁≈-2.7, x₂≈0.7.

当 x 取大于-2.7而小于0.7的值的时候，图象在x轴的下方，这时

x²+2x-2<0.

因此原不等式的解是-2.7<x<0.7.

注 利用图象法解不等式，在一般情况得到的解只是近似的。

这个不等式，也可以利用因式分解的方法来解。首先我们求出方程x²+2x-2=0的两个根．

x₁=-1-√3(≈-2.7321),

x₂=-1+√3(≈0.7321).

这样，原不等式可以改写成

[x-(-1-√3)][x-(-1+√3)]<0

这个不等式的解是

-1-√3<x<-1+√3。

例2.利用图象解不等式：

(1) 2x²-4x+3>0;

(2) 2x²-4x+3<0.

【解】作函数 y =2x²-4x+3的图象（图4·23)。

从图中可以看出，抛物线始终不和x轴相交，并且x轴的上方，所以不论 x 取什么实数值，总有 y>0．因此；

(1）不等式

2x²-4x+3>0

的解是全体实数，就是

-∞<x<+∞

(2）不等式

2x²-4x+3<0

没有解．

例3.利用图象解不等式：(1)4x²-4x+1>0;

(2)4x²-4x+1<0.

【解】作函数 y =4x2-40+1的图象（图4.24)

从图中可以看出，当 x =½的时候，y=0.当x≠½的时候，y>0. 因此：

(1）不等式

4x²-4x+1>0

的解是除去½以外的全体实数，就是

x <½ 或者 x>½.

(2）不等式

4x²-4x+1<0

没有解。

习题4.7

利用二次函数的图象解下面这些不等式：

1. x²-3x+2>0.

2. 2x²-3x+1<0.

3. x²+ x +1>0.

4. x²- x +1<0.

5. 1+ x -x²>0.

6. 1- x -x²<0.

下期预告：

*§4·8一元二次不等式的解的讨论

在§4.7的这些例题中，可以看到一元二次不等式的解可以有三种情况：

(1）它的解是某些范围内的实数；

(2）它的解是全体实数；

(3）它没有解．

现在，我们来研究怎样象判别一元二次方程

ax²+ bx + c =0( a ≠0)

......

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