大约在1604年，伽利略发现了自由落体运动定律。

……由静止开始的匀加速直线运动——“天然的加速运动”，物体开始下落计时后某一时刻的速度与时间成正比（任意相等时间间隔内速度的增量都相等），比例系数被定义为“加速度”，且这段时间内，运动的平均速度为末速度的一半。对该结论的证明延续了古希腊的几何学传统，实质上已经奠定了后世解析几何与微积分手段的雏形。

这套几何描述的一个自然而然的结论:由静止开始的匀加速直线运动，从出发点计时到任意位置的距离正比于时间的平方——如果这个匀加速运动是自由落体，那么这就是所谓“自由落体定律”。它还有一个在经验世界可供检验的推论:从静止开始，任意相邻相等时间间隔内的运动距离之比为1:3:5:7:9……恰好构成一个奇数列——这是一个毕达哥拉斯式的发现。

……

李轻舟 著《德尔斐的囚徒：从苏格拉底到爱因斯坦》摘录

对一个从静止开始的匀加速直线运动，直角三角形的两条直角边分别表示时间t和末速度v，v与t成正比，即v=at。比例系数a定义为加速度。矩形的面积表示物体以末速度v在时间t内做匀速直线运动的距离，即vt，而直角三角形的面积表示这段匀加速直线运动的距离，可以表示为这段匀加速直线运动的平均速度ū(v的顶部加一条短横线打字打不出来，下同)与经过时间t的乘积ūt。从直角三角形的面积是矩形面积的一半可以推导出平均速度是末速度的一半，平均速度ū的几何意义正好是直角边v所对应的中位线。

自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，可以用公式d=16t²描述自由落体运动，d表示物体下落的距离，单位是英尺(ft)。t表示运动经历的时间，单位是秒(s)。容易求得重力加速度g=32(ft/s²)，由物理学公式s=½gt²可得d=16t²。把它看作原函数并求导可得vₜ=32t。导数的物理意义是某一时刻的瞬时速度(距离对时间的瞬时变化率)。例如求自由落体运动第3秒末的瞬时速度，把t=3代入公式可得

v=96(ft/s)。

已知原函数y=f(x)=16x²求它的导数是正向问题。求导的结果是f'(x)=32x。而已知导函数f'(x)=32x，求它的原函数则是逆向问题。

示意图中直角三角形的斜边是匀加速直线运动的速度-时间图象。曲线下方的面积表示经过时间t所累积的距离。

现在我们来计算函数f(x)=32x的图象与x轴和直线x=5所围成图形的面积。

用牛顿-莱布尼茨公式计算：先求F(x)的解析式：F(x)=16x².

把已知条件代入公式：

F(5)=16×5²=25×4×4=400，

F(0)=0，故所求面积为400.

再看下一张图，它说明了公式v＝v₀+at的物理意义。

比如，求函数y=32x与x轴和直线x=3以及直线x=5所围成图形的面积。

F(5)=400，F(3)=16×9=144，所求面积=400-144=256.

现在我们用梯形面积公式计算：梯形的上底和下底可以用导函数y=32x来计算。S=½(96+160)·2=256.

原函数

函数f(x)定义在区间Ｉ上，如果存在函数F(x)，在区间Ｉ上任何一点x处都有F'(x)=f(x)，那么F(x)就叫做函数f(x)的原函数。。如果F(x)是函数f(x)在区间Ｉ上的一个原函数，C是任意常数，那么那么在有：

(1)F(x)+C也是f(x)的原函数；

(2)f(x)在区间Ｉ上的任何一个原函数都可以表示成F(x)+C的形式。

不定积分

把f(x)的所有原函数F(x)+C(C为常数constant的首字母)叫做函数f(x)的不定积分，记作：∫f(x)dx，即

∫f(x)dx=F(x)+C.

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数。

不定积分的运算法则

(1)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx；

(2)∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±

∫g(x)dx；

基本积分公式

(1)∫0dx=C;

(2)∫1dx=x+C;

(3)∫eˣdx=eˣ+C;

(4)∫sinxdx=-cosx+C;

(5)∫cosxdx=sinx+C;

(6)∫sec²xdx=tanx+C;

现在提升难度，我们来计算下图所示的面积。

被积式为x²dx，积分下限是1，积分上限是4.

计算定积分的方法是下图所示的牛顿-莱布尼茨公式。

图片来自上世纪九十年代的高中数学课本《微积分初步》全一册甲种本。当时重点高中使用甲种本，普通高中使用乙种本(指理科教材)。

答案见下图：

再看一个例子。求下图所示的面积。

求被积式x³dx从0到1的面积。答案见下图：

求被积式x²dx在区间[0,1]的曲线下方的面积。答案见下图：

我们的例题很简单，但是考试不会这样简单。命题老师的脑洞有多大，题目就有多难。

最后，我们解一道高考数学题结束本文。

题目呈现

设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实数根，且f'(x)=2x+2.

(1)求y=f(x)的表达式；

(2)若直线x=-t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值。

(1995年上海市高考题)

请大家思考一下，在知识概括以后给出答案解析。

定积分

在区间[a，b]上连续函数f(x)的任何一个原函数F(x)，从x=a到x=b的改变量F(b)-F(a)叫做函数f(x)在区间[a，b]的定积分，记为

即

上图就是牛顿-莱布尼茨公式。

平面图形的面积

连续函数y=f(x)(f(x)≥0)所表示的曲线以及直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形面积为

现在开始解题。

解：(第一问)

设f(x)=ax²+bx+c，则f'(x)=2ax+b。

又已知f'(x)=2x+2，故a=1，b=2.

∴ f(x)=x²+2x+c

∵方程f(x)=0有两个相等的实数根

∴ Δ=4-4c=0，c=1

∴ f(x)=x²+2x+1

(第二问)

按题意有

第一问是逆向问题，即已知导函数，求原函数。第二问考察了定积分。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。