导数的意义

标题图(导数的意义：函数y=f(x)的导数f'(x)就是函数对自变量x的变化率)

在生产中常常会遇到要求在一定条件下使“强度最大”，“用料最省”，“功率最大”，“体积最大”这样一类问题，在数学上，这类问题往往归结为求函数的最大值或最小值。

讨论函数的最大值与最小值，是导数应用的一个重要方面。因为二次函数在其定义域内只有一个极值点，所以在包含极值点的闭区间上，二次函数的极大值就是最大值，极小值就是最小值，如下图所示。

题目呈现

用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖长方体，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转九十度，再焊接而成。问长方体的正方形底面的边长应取多少，才能使长方体的容积最大。最大容积是多少？

七年级同学遇到过类似的问题。题目呈现和解题方法请看我在2021年发表的往期文章：https://m.toutiao.com/is/irhDSh4q/ - 生活中的数学：探究无盖长方体最大容积之谜 - 今日头条

在学习了高中微积分之后，我们有更强大的数学工具来解决这个生产中的应用题。

解：设长方体的底面正方形边长为x(厘米)，则长方体高

h=½(60-x)，长方体容积

V=V(x)=x²h=½(60x²-x³)

(0<x<60)

即V=30x²-½x³

由问题的实际情况来看，如果x过小，长方体的底面积就很小，容积V也就很小；如果x过大，长方体的高就很小，容积V也就很小。因此，其中必有一适当的x值，使容积V取得最大值。

令导数等于零，根据我们已经学习过的求导方法，得

解方程得两个根

x=0(不合题意，舍去)，x=40，

从而在定义域(0，60)内，函数V(x)只有一个驻点

x=40(厘米).

代入函数式V(x)，即得

答：长方体底面边长取40厘米时，容积最大。最大容积为16000立方厘米。

要注意，如果由问题的实际情况，可以断定可导函数在定义域开区间内存在最大(小)值，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有一个驻点，那么立即可以断定这个驻点的函数值就是最大(小)值。这一点在解决某些实际问题时很有用。