在§4.7的这些例题中，可以看到一元二次不等式的解可以有三种情况：

(1）它的解是某些范围内的实数；

(2）它的解是全体实数；

(3）它没有解．

现在，我们来研究怎样象判别一元二次方程

ax²+ bx + c =0( a ≠0)

的根的性质那样，来判别一元二次不等式的解的各种可能情况．

我们知道，任何一个一元二次不等式，经过化简以后，总可以写成下面这四种形式之一：

ax²+bx+c>0 (a>0), (1)

ax²+bx+c<0 (a>0), (2)

a'x²+b'x+c'>0 (a'<0), (3)

a'x²+b'x+c'<0 (a'<0). (4)

但(2)和(3), (1）和（4）是一致的，因为把不等式（3）的两边同乘以﹣1，就得到

ax²+bx+c<0 ( a >0)

的形式；把不等式（4）的两边同乘以-1，就得到

ax²+bx+c>0 ( a >0)

的形式，所以我们只需讨论前面两种形式就可以了。

先作出函数 y=ax²+bx+c 的图象，抛物线 y=ax²+bx+c的对称轴是

顶点 A (x₁,y₁）的坐标是

因为这里a>0，所以抛物线的开口是向上的。又根据b²-4ac的值是正数、负数或零，我们可以确定y₁的值是负数、正数或零，由此就可以确定抛物线的顶点 A 是在x轴的下方、上方或者在x轴上，从而明确函数 y=ax²+bx+c 的图象可能有的位置。现在分别讨论如下：

(1)b²-4ac>0。这时

图象的可能位置如图4.25。

在这种情况下，抛物线一定和x轴相交。设交点的横坐标是α 和β ( α<β)，从图中可以看出：

不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解是

x<α或者x>β;

不等式ax²+bx+c<0(a>0)的解是

α<x<β .

(2)b²-4ac=0．这时

即顶点在x轴上，图象的可能位置如图4·26.

在这种情况下，抛物线和x轴有一个交点，就是抛物线的顶点（x₁,y₁)。从图中可以看出：

不等式ax²+bx+c>0 (a>0)的解是x≠x₁,就是

x<x₁或者x>x₁

不等式ax²+bx+c<0 (a>0)没有解。

(3) b²-4ac<0．这时

图象的可能位置如图4·27。

在这种情况，抛物线不和x轴相交，且在x轴的上方。从图中可以看出：

不等式ax²+bx+c>0 (a>0)的解是全体实数；

不等式ax²+bx+c<0 (a>0)没有解。

注意 在上面的讨论中，我们先规定了x²的系数a是正数，在应用上面的这些结论来判别不等式的解时，必须注意到这一点。如果原来不等式x²的系数是负数，那就应先把这个不等式变形成上面所说的第(1)种或者第（2）种标准形式。

例 解下列不等式：

(1) x²+1>x;

(2) (1+ x )(1- x )> x +2;

(3) (1+ x )(1- x )>2x.

【解】(1）这个不等式可以变形成

x²-x+1>0.

这里b²-4ac=(-1)²-4=-3<0,且 a >0．所以不论 a 是什么实数，x²-x+1的值都大于零，这个不等式的解是全体实数。

(2）这个不等式可以变形成

1- x²> x +2,

就是

x²+x+1<0.

这里b²-4ac=1-4=-3<0, a >0。这个不等式没有解．

(3）这个不等式可以变形成

x²+2x-1<0.

这里 b²-4ac=4+4=8>0．不等式有解．

把左边的二次三项式分解因式后，原不等式可以变形成

[x-(-1-√2)][x-(-1+√2)]<0.

所以原不等式的解是

-1-√2<x<-1+√2.

解下列不等式（用最简便的方法）:

1.x²-3x+4>0;

2.2x²-5x+3<0;

3.3x²-x-3<0;

4.3x²-x-4>0;

5.x²+2x>6x-15;

6.3x²-7x<6;

7.3-x>3x+5x²;

8.(3x-1)(x+1)>4;

9.x²-3x>3x-9;

10. 1-4x²>4x+2.

1．二次函数

(1）一般形式： y =ax²+bx+c (a≠0).

(2）图象：抛物线；

对称轴：直线

顶点：

开口：当 a >0的时候，向上；当 a <0的时候，向下．

2．二次函数y=ax²+bx+c的极值

(1）如果 a>0，当

时，函数有极小值

(2)如果 a<0,当

时，函数有极大值

3．一元二次方程ax²+bx+c=0的图象解法

(1）先把方程变形成

(2)画出函数 y=x²和

的图象；

(3）读出它们的交点（如果有的话）的横坐标，即得所求.

4.一元二次方程和一元二次不等式的解

1．回答下面的问题：

(1）在二次函数 y=ax²中， a 是正数或者 a 是负数，对于图象的位置有什么关系？

(2）在二次函数 y=ax²中， a 的绝对值的大小，和函数值增加或减小的速度有什么关系？

(3）在同一坐标系里，二次函数

y=ax², y=ax²+k , y=a(x+m)², y=a(x+m)²+k 的图象的形状间有什么关系？图象的位置间有什么关系？（以函数y=ax²的图象形状和位置为比较的标准．)

(4）二次函数 y=a(x+m)²+k 在什么情况下有极小值？在什么情况下有极大值？

(5）同一个二次函数能不能既有极小值又有极大值？能不能既没有极小值，又没有极大值？

2．已知二次函数 y=x²+4x-5,

(1）把它改写成 y=a(x+m)²+k 的形式；

(2）当 x 取什么值的时候，函数的值是零？是正数？是负数？

(3）当 x 取什么值的时候，函数有极大值或者极小值？这个极大或极小值是什么？

(4）当 x 取什么值的时候，函数的值随着 x 的值的增加而增加？随着 x 的值的增加而减小？

(5）画出这个函数的图象。

3．按照上题同样的步骤，研究下面的二次函数，并且画出它们的图象：

(1) y =x²+4x+5;

(2) y =x²+4x+4;

(3) y=6-4x-2x²;

(4) y =-¼x²+x-1;

(5) y=-½x²-x-1.

4.x取什么值的时候，二次三项式x²-5x+6的值是正数？是负数？等于零？有极小值？这个极小值是多少？

［提示：只要令 y =x²-5x+6，这个问题就变成研究在 x 取什么值的时候， y >0, y <0, y = O , y 有极小值，并求出这个极小值。]

5．用上题同样的方法，讨论下面这些二次三项式：

(1)2x²-3x+4;

(2)2x²+5x-3;

(3)-x²+7x-12;

(4)-4x²+12x-9.

6．已知二次函数 y =ax²+ bx + c ，按照下面的条件，确定 a , b , c 的值，并写出这个二次函数：

(1) x =6时， y =0; x =4时， y 极小＝-8.

(2) x =½时， y极大＝25; x =0时， y =24.

7．已知抛物线 y =ax²+ bx + c 满足下面的条件，求 a , b , c 的值，并写出这个方程：

(1）顶点是（6,-12)，开口向上，并且和 x 轴交点之一是（8,0);

(2）顶点是（2,-7)，开口向下，并且和 y 轴有一个交点（0,-15).

8．利用函数 y =x²的图象解下列二次方程（精确到0.1):

(1) x²-2x-2=0;

(2) 2x²-3x-4=0;

(3) x²-2x-8=0;

(4) 5x²-2x-1=0.

9．解下列不等式：

(1) ( x+3)²<1;

(2) ( x +2)(3- x )<1;

(3) x²+6x+10>0;

(4) 2x²-3x+4<1.

*10. 从53.9米高处以49米/秒的初速度垂直向上射出一枝箭，

(1）利用公式

H=53.9+49t-4.9t²，列出箭从射出到落到地面这一段时间里它的高度 H(米）和时间 t （秒）间的函数关系的表；

(2）作出高度与时间关系的图象；

(3）根据图象回答下面问题，再用计算来检验：

( i ）从射出到落地一共经过几秒钟？

( ii ）经过几秒钟达到最高处？

( iii ）最高处离开地面多少米？

（题中数据看成是准确数）。

11．矩形的周长是40米，

(1）用 x （米）表示矩形的长， y （平方米）表示矩形的面积，写出 y 与 x 间的函数关系

y = f ( x );

(2）矩形的面积在什么情况下最大？这时矩形的面积是多少？矩形有怎样的特殊形状？

(3）画出函数 y = f ( x ）的图象来加以验证。

*12．地道的截面是一个矩形上接一个半圆。这个截面的周长等于2p．如果 p 是定值，在半圆的半径 r 取什么值时，截面的面积最大？这时矩形的高 h 等于多少？

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下期预告：第五章 有理指数的幂函数

在前几章里，我们曾见到过形如

y=x，y=x²，y=x³之类的函数。这些函数的特点是它们的解析式都是用自变量的某一个幂来表示的，我们把这一类函数叫做幂函数。

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