原标题:揭开趣题的“尾巴”
作者:江苏高邮师范学校 225600 林革
文章来源:中学数学杂志(初中):2001年第2期
某人去集市卖了 n 头牛,每头牛的价格是 n 个金币,然后他用这些卖牛的钱又买进了奇数只羊和一头小猪。已知每只羊的价格是10个金币,一头小猪的价格不到10个金币,请问这只小猪用了多少金币?
这道很有意思的小题目让许多人束手无策。因为从题目的表面上来看,数据不足缺乏条件似乎无从下手。真是这样么?让我们把此题暂且放在一边,先来讨论一番有关完全平方数的规律。
大家学习平方运算后,稍加观察就能发现:凡是开方能开得尽的那些正整数,其末位尾数必定是1,4,5,6,9(当然还有0),而决不会是2,3,7,8;把它们自然排列后不难发现这两类数,刚好呈现出以5为中心数的严整对称:123456789.
我们再来进一步考察完全平方数的最后二位尾数,经过计算与分析可知这种"尾巴"一共只有00,01,04,09,16,21,24,25,29,36,41,44,49,56,61,64,69,76,81,84,89,96这22只。而且类似上面的排列后,可发现这些尾巴是以25为中心的、表现极其完美的对称分布,即:
21²=441
22²=484
23²=529
24²=576
25²=625
26²=676
27²=729
28²=784
29²=841
而且24²=576,26²=676,差数正好100;27²=729,23²=529,差数正好200;28²=784,22²=484,差数正好300;29²=841,21²=441,差数正好400;………其余依此类推。其实这一规律是由于下面的恒等式:
(25+a)²-(25-a)²=(625+50a+a²)-(625-50a+a²)=100a所致,掌握了这个规律对于我们记忆完全平方数的尾数极大帮助。
我们可以将22只尾巴分成五类,(00是一只非常特殊的尾巴,不能算作有效数字,为了方便起见,我们不妨把它从下面的五类中剔除。)
第一类:1的左邻只能是偶数,即01,21,41,61,81;
第二类:4的左邻也只能是偶数,即04,24,64,84,44;
第三类:9的左邻也只能是偶数,即09,29,49,69,89;
第四类:5的左邻只能是2,即唯一的25尾巴;
第五类:6的左邻只能是奇数,即16,36,56,76,96。
好,记住了完全平方数的最后二位尾数,我们再来看刚才的趣题,应该注意到:此人卖牛的收入n²是一个完全平方数。因为在前面的叙述总结中我们已经发现,仅仅平方数的尾数为6时,其左边的紧邻才是奇数,而在其他一切情况下,平方数的十位数必然都是偶数。据此我们可以断定:这头小猪的价钱必是6个金币。你明白了么?
PS:请注意,0是偶数。