克罗内克Delta函数，虽简单却影响深远，它为许多数学和物理领域的研究提供了基础。这个函数以德国数学家利奥波德·克罗内克的名字命名，以其独特的特性在诸多数学理论和公式中发挥着重要作用。
在理论物理中，我们几乎无法想象没有克罗内克δ（Kronecker delta）的情况，它的形式如下，
这个相对简单但功能强大的张量（tensor）在理论物理的所有领域都有应用。例如，它被用于将长表达式写得更紧凑，以及简化复杂的表达式。与莱维-奇维塔张量（Levi-Civita tensor）结合使用时，这两个张量非常有用！
δ_ij 取值为1或0，具体取值取决于其两个下标 i 和 j 的值。下标的最大值对应于考虑的维数，所以在三维空间中，i 和 j 的范围是1到3。当 i 和 j 相等时，δ_ij等于1。当 i 和 j 不等时，δ_ij 等于0，
让我们看一些例子，
因为下标相等。
因为下标不相等。
爱因斯坦求和约定（Einstein's Summation convention）
为了紧凑地表示像这样：
或像这样的表达式：
我们约定如下的求和规则：省略求和符号，
但要记住，如果在表达式中出现两个相同的下标，那么就对该下标求和。
求和约定的另一个优点（除了紧凑性）是形式上的可交换性。例如，你可以按照你希望的顺序写下表达式，例如这样：
这可能帮助你看到什么可以进一步缩减或简化。
但有些例外，例如与微分运算符
partial_j，作用于一个后继项。你不能将被求导的项移动到微分前面
所以在使用下标表示法时，应该小心处理运算符。
现在让我们学习一些使用克罗内克函数的重要规则。
性质1：克罗内克函数是对称的，
为什么？根据定义，如果下标i和j相等，那么δ_ij 等于1，那么δ_ji也等于1。如果下标不等，δ_ij=0，δ_ji也等于0。所以，克罗内克函数是对称的！
性质2：下标缩减
如果两个或更多的克罗内克函数的乘积包含一个求和下标，那么乘积可以缩减，使得求和下标 j 消失。
为什么？让我们考虑例如当下标 i 和 j 相等的情况：i = j，而下标 j 和 k 不等：j ≠ k ，那么就得出 i 和 k 也必须不等：i ≠ k。所以δ_jk 是0，因此左手边的整个项是0：
而左手边的δ_ik 也是0，因为i和k是不同的，所以等式成立。
让我们通过一些例子来更好地理解，
下一个例子：
性质 3：下标转移
如果在 a_j 中的下标也出现在克罗内克函数 δ _jk 中，那么δ 消失，而因子 a_j 获取另一个下标 k。
这个规则基本上是下标缩减的另一种情况。这个规则告诉你，你也可以缩减不需要由克罗内克尔δ携带的求和下标。让我们再举一个例子，
性质 4：相等下标求和
如果 j 从1运行到 n，那么：
为什么这样？根据求和约定：在这里，求和是通过 j 进行的。所以
每个 δ 都是1，因为下标值是相等的。
δ 的标量积
现在我们来写出带有克罗内克δ的标量积。考虑一个由x，y，z三个部分组成的三维向量v = (x, y, z)：
你可以按照下述方法在标准正交基下表示此向量：
这里x，y和z是彼此正交并被规范化的三个基向量。在这个例子中，他们构成一个正交的三维坐标系统。
δ要用索引记号写出向量。这里我们不用不同的字母x，y，z来表示向量的分量，而是选择一个字母（在这里是字母v）然后连续对向量的分量和基向量进行编号。然后，向量的分量被称为v_1，v_2，v_3，并且基展开如下所示：
这种索引记号的优点在于，这样你永远不会用完向量分量的数字。试想一下一个五十维的向量，没有足够的字母给向量的每一个分量v_1，v_2直到v_50一个独特的字母。
另一个索引记号的优点在于，通过这种方式对向量分量进行编号，可以用求和符号更紧凑地表示基的展开，
如果省略求和符号，它就变得更紧凑，
在这里，我们对索引j进行求和。
现在我们知道了一个向量如何在指标记号中表示，我们可以类比地写出两个向量a和b的标量积，
使用刚刚学习的向量的索引表示：
在索引记号中，你可以按你喜欢的方式排序因子。这就是索引记号的优点，其中交换律适用。利用这个，把括号放在基向量周围，以强调引入克罗内克δ的重要性：
基向量e_i和e_j是正交规范的。回忆一下对于两个向量来说，成为正交规范化的属性意味着什么？他们的标量积的要么是1，要么是0：
两个正交规范化向量的标量积正好像克罗内克函数，
因此，用δ替换两个基向量的标量积：
根据第三条性质，可以缩减求和索引j，
然后就得到了标量积的精确定义，
为了练习，我们可以写出对i和j的求和，列出所有可能的i和j的组合：
如你所见，由于克罗内克函数的定义，共9个分量中只有3个不为零，即i = j；省略所有不相等的索引的求和项（0）；并且，使用克罗内克δ的定义有：
这就得到了我们熟悉的标量积：
