Bra-Ket 符号（Bra-Ket Notation），也被称为Dirac 符号，是量子力学中一种表达矢量和矩阵元素的强大工具。其名字来源于拆分英文单词'Bracket'，表达了这个符号的图形特性。在量子物理中，这种符号用于描绘抽象的希尔伯特空间中的向量和操作，为理解和操作量子态提供了一种清晰、紧凑的方式。在接下来的讨论中，我们将深入探索Bra-Ket符号的细节以及它如何在量子力学中被使用。

考虑一个一维的波函数Ψ(X)，描述一个量子力学粒子。在点X_1处的波函数值是Ψ(X_1)，在点X_2处的函数值是Ψ(X_2)，在点X_3处的函数值是Ψ(X_3)等等。

你可以给每一个x值分配一个函数值。通过这种方式，我们可以将所有函数值表示为一个列表。我们可以将这个值的列表看作是一个列向量Ψ，它存在于一个抽象的空间中。

这个向量的组成部分有Ψ(X_1)，Ψ(X_2)，Ψ(X_3)等等。我们甚至可以像在线性代数中那样将这个向量进行可视化，第一个组成部分Ψ(X_1)形成第一个坐标轴，第二个组成部分Ψ(X_2)形成第二个轴，第三个组成部分Ψ(X_3)形成第三个轴。

我们只考虑三个组成部分，因为我不能画出一个四维的坐标系。每个组成部分都被分配了一个坐标轴。通过这种方式，这三个组成部分构成了一个三维空间。

一旦我们考虑了一个额外的函数值Ψ(X_4)，这个空间就变成了四维的。我们把代表波函数Ψ(X)的向量Ψ称为状态向量（state vector）。理论上，当然，有无穷多的X值，因此也有无穷多的Ψ(X)的相关函数值。如果有无穷多的函数值，那么Ψ的状态向量所在的空间就是无限维的。这个抽象空间，在其中各种量子力学状态向量Ψ存在，被称为希尔伯特空间。

一般来说，这是一个无限维的向量空间，但也可以是有限维的。例如，描述一个单粒子的自旋向上和自旋向下状态存在于一个二维的希尔伯特空间中，这意味着像自旋向上这样的状态向量只有两个组成部分。

因此，我们可以用两种方式来表示一个量子力学粒子：作为一个波函数和作为一个状态向量。为了更好地区分粒子状态向量的描述和波函数的描述，我们将状态向量Ψ写在一个箭头状的括号内，

波函数Ψ(X)被表示为一个列向量，被称为ket向量，箭头状的括号指向右边，

所以当你看到ket符号的时候，你就知道它表示的是粒子状态作为一个状态向量。另一方面，如果你看到Ψ(X)，那么你就知道它表示的是粒子状态作为一个波函数。

Bra向量是ket向量的共轭转置，我们称之为bra向量，

十字架读作"dagger"，这个向量读作“PSI dagger”。为了表示得更紧凑，我们将bra向量表示为：

为了得到与ket向量共轭的bra向量，需要做两个操作：转置ket向量，这将它变成一个行向量；然后对转置的ket向量进行复数共轭，即在右上角加上星号。

所以，让我们总结一下：在向量表示中的波函数Ψ对应于ket向量，而行向量是与ket向量共轭的bra向量。由于我们已经将波函数Ψ解释为一个ket向量，我们可以像对待线性代数中的常规向量一样处理它。例如，可以形成bra或ket向量之间的标量积或张量积。对你来说可能新颖的是，向量中的元素可以是复数，而且元素的数量可以是无限的。

可以在一个bra向量和一个ket向量之间形成标量积，

在这里，可以省略标量积点和一个垂直线，

如果要在一个无限维的希尔伯特空间中形成标量积的状态向量，

那么我们不称这个操作为标量积，而叫内积（inner product）。然而，内积的括号记号与标量积的情况相同。

标量积

在一个有限的n维希尔伯特空间中，任意的bra向量Φ和ket向量Ψ之间的标量积看起来是这样的：

索引1，2，3直到n只是函数值的简短表示。例如，组件Ψ1代表函数值Ψ(X_1)。你可以像做常规的矩阵乘法一样将向量乘开，

你可以用一个求和符号来简写这个等式，

这里的n是希尔伯特空间的维度，也就是希尔伯特空间中的状态向量中的元素个数。

内积

对于在无限维希尔伯特空间中的状态，带有求和符号的标量积并不精确，因为我们会简单地省略X_1和X_2点之间的许多函数值，

对于无限维的状态，使用积分，因此我们用积分符号替换求和符号，

当然，我们现在考虑的是函数值

不是离散的点x_i，而是所有的点X。所以，要计算两个状态Φ和Ψ的内积，我们需要计算这个积分，

视觉解释

这个内积或者标量积实际上意味着什么呢？内积像标量积一样，是一个测量两个状态重叠程度的数值，

张量/外积

另一个重要的bra向量和ket向量之间的运算是张量积，或者更精确地说，外积，

我们可以省略张量符号，

因为从bra-ket记号中可以立即看出这不是标量积或内积。在这里，bra和ket向量的位置被交换了，

张量积的结果是一个矩阵，

你将在量子力学中经常遇到这样的矩阵，比如在学习量子纠缠时。

投影矩阵

如果我们取一个规范化的状态Ψ，也就是说，这个向量的大小是1，

并且用它自己形成一个张量积，

我们就得到一个投影矩阵。当我们将它应用到任何ket向量Φ上时，就是将一个矩阵乘以一个列向量，

投影矩阵的特殊性质是，它将状态Φ投影到状态Ψ上，换句话说，它产生的是与波函数Ψ重叠的波函数Φ的部分。

投影的结果因此是一个描述波函数Φ和Ψ的重叠的ket向量。

投影矩阵因此是理论物理学中研究量子态重叠的重要工具。

ket向量的基变换

可能投影矩阵最重要的用途是非常简单的基变换（basis change）。如果有一些量子态Φ，我们想从不同的角度看它，或者从数学上讲，在不同的基中表示它，那么当然我们首先选择期望的基，

这就是你从线性代数中知道的SEO，一组正交规范化的向量Ψ1, Ψ2, Ψ3等等，

它们的数量等于这些向量所在的希尔伯特空间的维度。

为了说明，让我们假设期望的基只包含三个基向量Ψ1, Ψ2, Ψ3，

我们用每一个基向量构造投影矩阵，

为了在新基中表示量子态Φ，我们求出各基投影矩阵的和，

正如我们从数学中知道的，形成一个基的投影矩阵的和是一个单位矩阵I，

这个单位矩阵的和非常重要，因为我们并不想改变量子态 Φ。单位矩阵乘以列向量Φ并不改变这个向量，

现在我们将基投影矩阵的和代入单位矩阵，得到的状态 Φ，

虽然其记号与基变换前的状态相同，但现在是以基Ψ1, Ψ2, Ψ3来表示的。例如，如果我们想强调新的基底，我们也可以给它一个索引 Ψ，

我希望你现在明白了投影矩阵的概念有多么有用。

一般来说，我们可以用一个公式表示基变换，这个公式用 n 个基向量简单地替换掉求和符号下的数字3。

这样的基变换只有在 Φ 和 Ψ 这样的状态在有限维希尔伯特空间中时才是精确的。

但是对于具有无限多个分量的状态，基变换是如何工作的呢？对于这个，我们将离散求和替换为连续求和，用积分替换求和符号，

现在，你应该对 bra-ket 符号有了坚实的基础知识：了解了 bra 和ket向量是什么，如何用它来形成标量积和内积，如何用它构造投影矩阵，如何在 bra-ket 符号中进行基变换。