三角函数讲解（上篇）

1、任意角

① 角的定义与分类

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆（顺或不旋转）时针旋转到终止位置，形成角，其中有定义“射线”分别是角的始边和终边.

角的定义

逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.

如下图：

正角、负角举例

2、终边相等的角

根据角的定义得到与角终边相同的角的集合为

注意：上式中的不能漏.

3、象限角的概念

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.表示如下：

第一象限：

第二象限：

第三象限：

第四象限：

注意：终边落在坐标轴上，不能称为象限角.表示如下：

终边落在轴正半轴上：

或

终边落在轴负半轴上：

或

终边落在轴上：

或

终边落在轴正半轴上：

或

终边落在轴负半轴上：

或

终边落在轴上：

或

终边落在坐标轴上：

或

4、弧度制

① 弧度的定义

弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作.

即:半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么:

② 角度与弧度的转化

③ 特殊角的角度与弧度对应表

特殊角的角度与弧度对应表

④ 弧长与扇形面积计算公式

弧长

注:为弧度制.

5、任意角的三角函数的概念

设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点.

① 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即

② 把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即

③ 把点的纵、横坐标之比叫做的正切函数，记作，即一定能定义.

三角函数

正弦函数,余弦函数,正切函数,它们统称三角函数.

6、三角函数在各个象限的符号

三角函数在各个象限的符号

根据三角函数定义可知它们在各个象限符号:

设的终边上一点符号看，符号看，符号看

7、特殊角的三角函数值表

特殊角的三角函数值表

注意：再大的特殊角都能借助三角诱导公式转化成上面的值进行计算.

8、同角三角函数基本关系式

①

②

③

④

9、诱导公式

以下的图形是对的理解：若则

下图是对的理解：若则

下图是对的理解：若则

下图是对的理解：若则

下图是对的理解：若则

利用以上组公式，最好结合图象，利用对称性和全等三角形进行理解消化.

10、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

由以往的经验来看，很多同学会说而不会用，今天我把方法教给大家，如下：

①奇、偶是相对而言的

奇：

偶:

②变和不变

③符号看原函数

其中把当成加一个锐角对待，生成的新函数的符号与原函数角（或弧度）落在相应位置的符号保持一致.

④若生成的新函数的角（或弧度）是负的，则要以生成的新函数的奇偶性进行调整，其中是奇函数，是偶函数.

下面举例说明：

奇变偶不变，符号看象限举例

11、三角函数诱导公式在高考中的价值取向

①深化对三角函数的理解

诱导公式将复杂的三角函数问题转化为简单的、基本的三角函数问题，有助于学生深入理解三角函数的性质和特点，提高对三角函数整体知识结构的把握。

②拓宽解题思路

诱导公式可以应用于解决各种三角函数问题，包括计算、化简、证明等。掌握诱导公式能够帮助学生拓宽解题思路，提高解题能力。

③提高数学思维品质

诱导公式的应用需要学生具备一定的数学思维能力，如逻辑推理、分析综合等。通过学习和应用诱导公式，有助于提高学生的数学思维品质。

④促进数学知识的实际应用

诱导公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域。掌握诱导公式有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。

⑤适应高考要求

高考对于三角函数部分的考查比较深入，而诱导公式是其中的重点和难点。掌握诱导公式能够帮助学生更好地适应高考要求，提高考试成绩。

12、以下是相关知识点练习题目（有需要的保存）