一、向量的数量积

1、向量的夹角

已知两个非零向量是平面上的任意一点，如图：任意作向量则或叫做向量与的夹角．

向量的夹角

当时，与同向；当时，与反向；如果与的夹角是，我们说与垂直，记作

特别注意，向量夹角范围

2、向量数量积的定义

已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即:

规定：零向量与任一向量的数量积为，即

本质：数量积是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个数量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．

3、投影向量

如图

设是两个非零向量，如图作，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到

投影向量

本质：称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．

计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在上的投影向量为

4.平面向量数量积的性质

若两非零向量的夹角为，则

当时，非零向量的数量积为正数；

当时，非零向量的数量积为零；

当时，非零向量的数量积为负数．

若是非零向量，它们的夹角为，则

若与同向，则两个向量的数量积为；若与反向，则

或也可以表示为：常用此性质进行实数与向量的转化．

二、平面向量数量积的运算律

1、平面向量数量积的运算律

2、平面向量数量积的运算性质

类比多项式的乘法公式，写出下面的平面向量数量积的运算性质．

注意：以上的均指向量.

三、平面向量的数量积在高考中的价值取向

1. 数学知识的综合运用：数量积是向量代数中的基本概念，它与数学中的许多其他知识有着密切的联系，如解析几何、三角函数等。因此，高考中对于数量积的考查，实际上是对学生数学综合素质的考查。

2. 代数与几何的交融：向量是一种既有大小又有方向的量，其数量积不仅表示向量的长度，还表示两个向量之间的夹角。这使得数量积具有代数和几何的双重意义，能够很好地将代数与几何的知识融合在一起。

3. 实际应用背景：向量和数量积的概念在实际生活中有着广泛的应用，例如物理中的力、速度和加速度等都可以用向量来表示。因此，高考中对于数量积的考查，也往往结合实际问题来进行，以检验学生对于数学知识的实际应用能力。

4. 思维能力和数学素养的考查：数量积的概念和运算并不复杂，但其背后所蕴含的数学思想和方法却非常丰富。通过对于数量积的考查，高考可以检验学生对于数学思想的领悟程度以及分析问题和解决问题的能力。

四、以下是相关练习题目（有需要的请收藏）