文章说明：
函数单调性是函数的一个非常重要的性质，本文从单调性的定义入手，总结了判断单调性的常见方法。本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行讨论，对于每类函数都给出了判定单调性的若干方法。对于具体的函数，我们可以用多种方法去判断其单调性，特别地导数法是普遍适用的，若借助于计算机，那么图像法也是最简单最直观的。对于抽象函数的单调性问题，我们给出了用定义法及列表法。这种题型不仅抽象，而且综合性较强，对学生的思维能力有很高的要求，学生往往很难发现数学符号与数学语言之间的内在关系。因此在判断函数单调性的问题上，应灵活选择恰当的方法，从而使解题过程最简单。
一、函数单调性的重要性
函数的单调性是高中数学中的一个非常重要的概念，它描述了函数值随自变量变化而变化的趋势。函数的单调性在高中数学中非常重要，主要体现在以下几个方面：
①理解函数行为
函数的单调性描述了函数值随自变量变化而变化的趋势，有助于学生更好地理解函数的行为。通过分析函数的单调性，学生可以直观地了解函数在定义域内的变化规律，进而更好地解决与函数增减性相关的问题。
②解决数学问题
在高中数学中，许多问题都需要利用函数的单调性来解决。例如，求函数的极值、解方程、研究函数的零点等。通过对函数单调性的分析，学生可以快速找到函数的极值点或零点，进而解决这些数学问题。
③应用题解题关键
在解决一些实际问题时，函数的单调性也是非常重要的。例如，在经济学中研究商品的需求量与价格的关系，在物理学中研究物体的位移与时间的关系等。通过对这些问题的函数单调性的分析，学生可以更好地理解问题的本质，进而找到合适的解决方案。
④为大学数学奠定基础
函数的单调性是大学数学的基础知识之一，对于学习高等数学、微积分等课程的学生来说非常重要。在高中阶段掌握好函数的单调性，可以为大学数学的学习奠定扎实的基础。
因此，函数的单调性在高中数学中具有重要的地位和作用，对于学生理解函数行为、解决数学问题和实际问题都具有重要意义。学生在学习过程中应该充分理解并掌握这个概念，以便更好地运用它来解决问题。
就目前很多高中生在函数的单调性上出现问题，我就以此展开总结，我们用什么样的方法才能把“单调性”理解透彻，下面我将从几个方面进行理解，希望对有需要的人提供帮助。
二、函数单调性的判定方法
1、定义法
设的定义域为,区间如果对于区间上任意当满足时，恒有则称在区间上单调增加.如果对于区间上任意当时，恒有则称在区间上单调减少.
各位读友注意：
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：
下面举两个例子加以说明：
定义法举例
例的函数是一种特殊函数（对勾函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于与的大小关系不是明确的，因此要分段讨论。
所以用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数当时，容易得出与大小关系的函数.在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。
2、函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
常见函数的单调性
读者可以结合以下几点对以上图表进行理解：
函数与函数（为常数）的单调性相同
当时，函数与的单调性相同当时，能推出函数与的单调性相反
当函数函数与函数的单调性相反
当函数在上都是增（减）函数时，则在上是增（减）函数
当函数在上都是增（减）函数且在上恒大于零时，函数在上是增（减）函数当函数在上都是增（减）函数且在上恒小于零时，函数(相乘)在上是减（增）函数
设为严格增（或减）函数，则必有反函数(读作逆），且函数在其定义域上也是严格增（减）函数(注意，反过来不成立）.
下面借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面来看以下两个例子：
函数性质法举例
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单的单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
3、图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数的图像在区间上从左往右逐渐上升,则函数在区间上是增函数；若函数图像在区间上从左往右逐渐下降,则函数在区间上是减函数.
此方法是所有方法中最简单的，下面以两个例子说明：
图像法举例
用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。
4 、复合函数单调性判断法
①复合函数的概念
设函数的定义域为,函数在上有定义，且则由:
确定的函数，称为由函数和函数构成的复合函数，它的定义域为称为中间变量.
②复合函数的单调性
若函数(外层函数）是增函数，函数（内层函数）是增（减）函数，则复合函数是增（减）函数
若函数(外层函数）是减函数，函数（内层函数）是增（减）函数，则复合函数是减（增）函数
归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）
复合函数单调性的四种情形可列表如下：
复合函数的单调性表
显然对于大于次的复合函数此法也成立.
推论：若复合函数是一共由个单调函数复合而成其中有个减函数：
当时，则满足复合函数是单调减函数
当时，则函数是增函数
③判断复合函数的单调性的步骤
能够做到合理地分解成两个基本初等函数
分别解出两个基本初等函数的定义域
分别确定单调区间
若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则能得
复合函数为增函数，若复合函数为一增一减，则为减函数（同增异减）
求出相应区间的交集，既是复合函数的单调区间
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”.利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。下面我们就用“八字”求法来判断函数的单调性.
下面举一个例题加以说明：
复合函数单调性判断法举例
5、导数法
我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性，图像上升则递增，图像下降则递减．用定义法、图像法等这些初等方法来判断函数的单调性，一般比较繁杂，下面我们将以导数为工具来判断函数的单调性。函数的导数反映了函数增加或减小的快慢，即变化率．因此我们可以利用导数判断函数的单调性．这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法。在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性。
①导数判定函数单调性定义
设函数在区间上可导，则函数区间上递增（减）的充要条件是：
②导数法判断函数单调性的步骤
确定函数的定义域
求导数
判定函数的定义域内导数与的大小关系
写出函数的单调区间．
下面以两个例题进行导数法在判定函数单调性中的运用:
导数法举例
导数法通过判断函数定义域被导数为零的点和导数不存在的点所划分的各区间内导数的符号来确定函数在该区间上的单调性．导数法判断函数单调性主要适用于函数在其定义域内可导并且容易判断其导函数与零的大小关系时的情况.导数法是解决诸多问题的有力工具，它既给学生提供了一种重要的解题思想，又给学生提供了一种解题方法.
三、判断抽象函数单调性的方法
如果一个函数没有给出具体解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数。抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息。
1、定义法
通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与（或者）比较大小关系来判断其函数单调性。通常有以下几种方法：
①凑差法
根据单调函数的定义，设法从题目中凑出的形式，然后比较与整数的大小关系.
下面举例说明：
凑差法举例
②添项法
弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断与大小关系的目的.
下面举例说明：
添项法举例
③增量法
我们由函数单调性的定义出发，任取设增量式使然后联系题目提取的信息给出解答.
下面举例说明：
增量法举例
④放缩法
利用放缩法，判断与的大小关系，从而得在其定义域内的单调性.
下面举例说明：
放缩法举例
对于抽象函数，由于抽象函数没有具体的解析式，因此需充分提取题目条件给出的信息,观察结构特点.用定义法判定抽象函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数.当时，容易得出与整数大小关系的函数.定义法是最直接的方法，思路也比较清晰，在解题中灵活选择凑差法、添项法、增量法、放缩法等恰当的方法，可使解题过程更加简单方便.
2、列表法
对于比较复杂的复合函数，除了用复合函数单调性判断法外，还可以用列表，将各个函数的单调性都列出来，然后再判断复合函数单调性.
下面举例说明：
例：已知在上是偶函数，且在上是增函数，求能使复合函数是减函数的区间.
列表法举例
利用列表法比较直观，精确、易懂、量与量之间的关系又很明确。列表法在实际生活当中应用也是比较广泛的。但是列表法也有其局限性：在于适用题型狭窄，求解范围小，大部分是跟探寻规律或反映规律有关。
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