三角函数讲解（下篇）

一、三角函数的图像与性质

1、周期函数

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期.

说明：

①从解析式来看：任一自变量对应函数值与增加后对应函数值相等；

②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延伸，而那一部分图象的水平长度就是其正周期;

③ 三角函数就是典型的周期函数.

2、正弦函数、余弦函数的图像与性质

正弦函数、余弦函数的图像与性质

注意：表中的

3、正切函数的图像与性质

正切函数的图像与性质

注意：表中的

二、三角恒等变换

1、两角和差的正弦，余弦与正切公式

① 余弦两角和差公式

几何推导如下

几何推导相对来说要麻烦一点，但也能直观的说明问题.如下图，可设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角它们的终边分别与单位圆(半径的圆）相交于点接着连接若把扇形绕点旋转角，则能使点分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，弧度与弧度重合，能容易得到弧度与弧度相等，所以.

根据两点间的距离公式，得

化简得

而

向量推导如下

②正弦两角和差公式

推导如下

③正切两角和差公式

推导如下

总结：

两角差余弦公式是其它公式推导的母本，包括后面的二倍角和半角公式;

推导过程中用了大量的“诱导公式”;

公式中的可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子;

对应公式的运用，注意整体变换的思想.

下面举例说明：

2、辅助角公式

其中

说明：

辅助角公式本质上就是两角和差的正弦公式和余弦公式的逆运用，你若是高中学生，要知道这本质上是搭建基本三角函数中的正弦函数和余弦函数与的桥梁;

初学者可以构造因为回去不容易出现符号上的错误;

在构造值的时候，一是当成特殊角，二是当成锐角处理辅助角公式是不会出错的;

最后，实在理解不了就请看下面推导过程.

推导过程:

3、二倍角的正弦余弦正切公式

推导过程如下：

4、降幂公式

推导过程如下：

因为

所以

5、半角公式

推导过程如下：

因为

所以

即

而

所以

6、万能公式

万能公式由倍角公式可得.

7、积化和公式

积化和公式由和差公式可得.

8、和化积公式

和化积公式由和差公式可得.

想要推导过程的私信.

三、函数

1、性质

①简谐运动可用三角（学生最终的价值取向）函数表示，是振幅，周期，频率 ，相位，初相.

②对的影响：影响函数的最大（小）值，影响周期，影响函数水平位置.如下图：

2、函数的变换

①平移变换

将的图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)；

将的图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减).

举例说明：

② 伸缩变换

将的图像的纵坐标伸长到原来的倍(注意：这个在认知上是正常的，时伸长，时缩短)，横坐标不变.

将的图像的横坐标伸长到原来的倍(注意：时伸长，时缩短)，纵坐标不变.

③的图像是怎么由变换的呢，以下是两种方法.

先平移再伸缩（如下图）

先伸缩再平移（如下图）

四、三角函数在高考中的为何如此重要

三角函数在高考中之所以重要，主要有以下几个原因：

1.三角函数是高中数学的重要知识点，在高考数学中占有一定比例。掌握好三角函数，对于提高数学成绩和应对高考具有重要意义。

2.三角函数与物理、化学等科目有着密切的联系，如振动、波动、交流电等物理现象，以及一些化学反应，都需要用到三角函数的知识。

3.三角函数在解决实际问题中也有广泛应用，例如几何学、测量、工程技术和科学研究等领域。因此，学生需要具备运用三角函数解决实际问题的能力。

4.三角函数有助于培养学生的数学思维和举一反三的能力，提高学习效率。通过深入学习和掌握三角函数，学生可以锻炼自己的数学思维和解决问题的能力，这对于其他科目的学习和未来的发展都有很大帮助。

因此，在高考中，三角函数是重要的知识点之一，需要学生认真学习和掌握。

五、以下是相关知识点的练习题目（有需要请收藏）