前夫坐牢时，可依法推动抚养权变更。因服刑导致其客观上无法履行抚养职责，从保障子女健康成长的核心原则出发，可通过法定途径实现抚养权转让。以下将围绕关键问题展开解析。

可以。法律规定父母对子女负有法定抚养义务，当一方因服刑丧失履行能力时，为维护子女合法权益，变更抚养权具备充分法律依据：

抚养能力层面：服刑期间人身自由受限，前夫无法提供日常生活照料、学习辅导及情感陪伴，而子女成长需稳定环境与持续关爱，其抚养能力已无法满足子女需求。

法律程序层面：优先与前夫协商，达成一致后签订抚养权变更协议；若协商无果，可向法院起诉。法院审理时，会结合子女意愿（年满8周岁需尊重其意见）、双方经济条件等因素，鉴于前夫服刑的特殊情况，通常会支持抚养权变更诉求。

变更抚养权主要分协商与诉讼两种路径，具体操作如下：

协商变更流程：需通过监狱协调沟通（如书信、会见），明确变更意愿。双方达成一致后，签订包含抚养权归属、抚养费支付方式及金额的书面协议，建议对协议进行公证，提升法律效力。

诉讼变更流程：协商不成时，需准备相关证据（前夫服刑证明，如判决书、监狱出具的材料；自身抚养能力证明，如收入、居住证明），向有管辖权的法院提交起诉状与证据。法院受理后会安排庭审，当事人需充分阐述变更理由，最终由法院依法判决。

即便抚养权变更，前夫仍需承担抚养费义务，具体处理方式如下：

抚养费数额确定：需结合子女实际需求（如教育、医疗开支）及前夫经济状况综合判定。若前夫有存款、房产等财产，可从中抵扣抚养费；法院会以保障子女基本生活为原则，合理确定数额。

抚养费支付方式：可协商约定支付方式，若前夫有可执行财产，可申请法院强制执行；若其出狱后有收入来源，需按约定定期支付。支付过程中，需留存转账记录、收据等凭证，避免后续纠纷。

综上，前夫坐牢时可依法变更抚养权，且需按协商或诉讼流程操作，同时明确抚养费支付事宜。若后续遇到前夫出狱后主张重新变更抚养权等复杂问题，可通过专业法律咨询获取针对性解决方案。