生命短暂，艺术长存。
——拉丁格言
上期文章分享了一道求三角形中线长的题目。美中不足的是答案是一个无理数。
能不能修改一下题目数据，让答案是一个漂亮的整数？用平行四边形定理来寻找修改方案，可以得到解题线索。
2(a²+b²)=c²+d²
以上字母都表示自然数，a和b是平行四边形的一组邻边，c和d是平行四边形的两条对角线。不过还有一个限制，任意取三个字母都能够构成三角形，即满足两边之和大于第三边的条件。
寻找问题的整数解不能赤手空拳，让我们先去找一找称心如意的武器吧！
首先想到的是法国数学家费马研究过的一个漂亮的定理。
费马平方和定理
费马平方和定理是数论中的一个重要定理，由法国数学家皮埃尔·德·费马于1640年提出，后由莱昂哈德·欧拉于1747年首次给出完整证明。
高斯在他的名著《算术研究》中给出了更简洁的证明。
定理内容：一个奇素数p可以表示为两个整数的平方和，当且仅当p≡1(mod4)，即：若p是奇素数且p÷4余数为1(p满足模4余1)，则存在整数x、y，使得p=x²+y²；若p是奇素数且p÷4余数为3(p满足模4余3)，则不存在这样的整数x、y。
换句话说，具有4k+1形式的素数可以表示为两个整数的平方和，具有4k-1形式的素数则无法表示为两个整数的平方和。
该定理可推广到自然数：一个自然数n能表示为两个整数平方和的充要条件是，在n的素因子分解中，所有模4余3的素数的指数均为偶数。
费马平方和定理不仅在数论研究中具有重要地位，也在密码学、算法设计等领域有应用价值。
高斯有写数学日记的习惯。1796年是高斯的“奇迹年”，如1796年7月10日的记载：
num＝△＋△＋△
这意指“每个自然数均可表为不超过三个三角形数之和”。此处三角形数是指按点排列可以构成正三角形状的数，例如1，3，6，10，15……
这是17世纪法国数学家费马猜想的一个特例。后者说的猜想是：当n大于2时，每个自然数均可表成不超过n个n角形数之和。高斯还在这条日记旁边写上了“Eureka！”即“我发现了！”(当年阿基米德在浴缸里悟出浮力定律时也说过这句话)
所以，任何一个自然数均可以用不超过4个平方数之和来表示。即：
num=□+□+□+□
对于素数分为两种形式：
4k+1=□+□
4k-1=□+□+□
特殊的自然数
4ⁿ(8k+7)=□+□+□+□
例如7，28，60等，需要四个平方数之和才能表示出来。
平方数的尾巴
仔细观察平方数表，就会发现平方数的某些有趣性质。平方数的尾巴总是0,1,4,5,6,9，决不会是2,3,7,8。
因为前一组数字都是10的平方剩余，而后一组数字都是平方非剩余。这样我们就有了一个简单的目测法，尽管这不过是判别平方数的必要条件，不是充分条件。
一个更好的排他性测试是检查最后两位尾数，即100的平方剩余。它们共有22个，列举如下：
00,01,04,09,16,21,24,25,29,
36,41,44,49,56,61,64,69,76,
81,84,89,96.
平方数的尾巴是极其有用的信息。我们经常想确定一个数在加上或减去一平方数以后，其和或差是否为平方数。上述两位尾数就能帮助我们迅速排除那些不可能的情况。例如我们要求一个平方数x²，使得5581-x²是平方数。由尾巴可知，x²的尾巴只能是00,25,56或81。
答案为x²=4356=66²，而5581-4356=1225=35²。
平方数应该满足的一个条件是其各位数字之和等于1,4,7,9。这个性质可证明如下：一切整数用9去除的余数必然是0至8这9个数；也就是说，一切整数可表示为以下形式：
9a，9a±1，9a±2，9a±3，9a±4。这些数目的平方除以9时，其余数必然是0,1,4,7,9。我们知道，一个数用9除时留下的余数与该数的各位数码之和被9去除时留下的余数是相同的。这就证明了上述法则。余数0实际上是余数9；显然一个数的各位数码之和不可能等于零，除非该数本身就是零。
斐波那契恒等式
两个平方数之和乘以两个平方数之和，所得的乘积仍然是两个平方数之和。这种关系真是奇妙！
因为5和13都是4k+1形式的素数，所以都能表示为两个平方数之和。
由5=2²+1²，13=3²+2²，我们得出5×13=65=8²+1²或7²+4²。这种关系来自斐波那契恒等式：公式1：
(a² + b²)(c² + d²) = (ac - bd)²+ (ad + bc)²
或者(公式2)
(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²
如果原来的乘积中两个因子完全一样，则有：
(Formula 3)
(a² + b²)(a² + b²) = (a² + b²)² =(a² - b²)² + (2ab)²
这个公式表示的是勾股数的关系。举个例子：
(3² + 2²)(3² + 2²)=13² =(3² - 2²)² + (2×3×2)²=5²+12².
如果在公式1中，令c=d=1，则有
(公式4)
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
准备好了吗，我们考虑如何解题了。
拉马努金说：注意到
a=7，b=9，c=14，d=8，公式
2(a² + b²) = c² + d²
两边都等于260，于是得到一组解。
260虽然还可以拆分为16²+2²，但是不能构成三角形，所以舍弃。
注意到2(17²+19²)=20²+30²
所以，
a=17，b=19，c=20，d=30，是公式
2(a² + b²) = c² + d²
的另外一组解。
又注意到
2(25²+39²)=34²+56²
所以，
a=25，b=39，c=34，d=56，是公式
2(a² + b²) = c² + d²
的另外一组解。
现在我们可以修改题目了。如图，已知AB=9，AC=7，BC=8,则中线AD的长为____。
因为一条对角线=8，所以另外一条对角线就等于14，因为平行四边形的对角线相互平分，所以中线AD=7。
拉马努金可以用瞪眼法看出答案，因为每一个自然数都是他的好朋友。
如果我们熟悉平方表，掌握了平方数的奥秘，也能够凭借良好的数感，靠直觉捕捉到答案。
课堂作业
设计一个长方体，每条棱都是整数，每个面的对角线也是整数。
解题思路：
寻找三个整数X，Y，Z，使得它们两两之间的平方和都等于一个平方数。即
X²+Y²=a²，X²+Z²=b²，Y²+Z²=c²
下面给出一组解：
44²+240²=244²,
44²+117²=125²,
240²+117²=267²。
长方形盒子的长宽高分别为44×117×240，其六个面的对角线长度均为整数。
下面给出求三数组的一般公式(不是全部解答)：
X=2mn(3m²-n²)(3n²-m²)，
a=2mn(5m⁴-6m²n²+5n⁴)，
Y=8mn(m⁴-n⁴)，
b=(m²+n²)³，
Z=(m²-n²)(m²+n²+4mn)(m²+n²-4mn)，
c=(m²-n²)(m⁴+18m²n²+n⁴)
上面的三数组相当于m=2，n=1的情况。
最后再悄悄告诉大家一个秘密以结束本文。
上图的数字100,000,001是一个椅子数。最小的椅子数101是质数，101×89=8989。而1001不是质数，因为7×11×13=1001。
1001×985=985985
现在明白为什么被称为椅子数了吧。
100000001÷17=5882353
所以，上面的椅子数不是质数。
今天是五一节，祝大家节日快乐。科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
