今天我们解析一道几何基础题，题目呈现如下图所示：

问题图

审题：因为AB是直径，根据希腊七贤之首泰勒斯研究得到的结论，直径所对的圆周角是直角，所以三角形ABC和三角形ABD都是直角三角形。

因为等弦对等角，所以弦AC和弦CD相等。由勾股定理可知，这两条弦都等于6。

根据题目条件，BC是角平分线。这让人联想到二倍角公式。

解法一：余弦定理

在三角形ABC中，已知三边，设∠1=∠2=β，可以用余弦定理求出cosβ，进而求解BD。

在三角形BCD中应用余弦定理：

列方程再整理，再用求根公式解一元二次方程，得到两个根。

因为BD小于直径，所以答案是2.8。

解法二：正弦二倍角公式

如果圆的直径是2，我们知道这是一个单位圆。如果圆的直径是1，这个圆有名字吗？

我不知道。我们姑且把直径为1的圆称为参考圆吧。

在参考圆中，圆内弦的长度等于所对圆周角的正弦值。即AB=1，AC=0.6，BC=0.8。所以，BD=cos2β，AD=sin2β，AC=sinβ，BC=cosβ。

如何计算96的平方？因为96+4=100，所以96的补数是4。因为100-4-4=92，补数4×4=16，所以96的平方等于9216。

如何计算784的平方根？显然，平方根的十位数是2。7-4=3，还剩余384。考虑4_×_≤384，两个空位需要填入相同的数。

注意到48×8=384，所以算术平方根为28。

解法三：余弦二倍角公式

利用解法一求出来的cosβ，我们可以用余弦二倍角公式快速求解BD。

解法四：托勒密定理

对于任意凸四边形 两组对边的乘积之和大于等于两条对角线的乘积。当且仅当四点共圆时(圆内接四边形)取等。

即：AC·BD+CD·AB=AD·BC。

这个解法就留给读者自行完成。

顺便说一下，托勒密定理的第一个证明可能是出自托勒密的前辈希帕恰斯。托勒密在他的名著《至大论》中用托勒密定理作为引理证明了正弦两角和公式，进而推导出更多三角函数公式，并编制了弦表。希帕恰斯编制的弦表早于托勒密，但是失传了。

当然，本题解法也不止这些。更多解法留给读者完成。