如果没学过概率论的朋友，会简单的认为，波动率的意思就是震荡的大小，就是来回扫的意思。

其实严格来讲不能这么理解，虽然说不上完全错。

波动率被记作σ，也称标准差。

要理解σ之前，首先要理解μ是什么，μ就是期望值。

期望值，就是在做一个独立同分布的实验（你可以简单的理解成一个稳定封闭的环境下做同一个实验），做n次后结果相加取平均值，而随着n越大，其平均值会越来越趋于某个值，当n趋于∞的时候，那么这个平均值会无限接近某个值，或者收敛于某个值，这个值就是单次实验的期望值。

而它亦等于每个可能出现的实验结果乘以其出现的概率，然后加起来。（证明就不展开了，未来在专栏内专门讲的时候再展开。）

而用在金融领域，假如我们问t时刻后，或者后天上午10点钟的时候，某个股的股价的期望值是多少？

其问的不是说在那个时间点股价一定得是多少，而是在问，在那个时间点，所有可能出现的结果乘以其概率后，再加起来得出的值。

当然，股价在那个时刻是多少，是个一次性事件，走出来是多少就是多少，交易所也不可能给你重复回档再走一遍。

所以，在金融数学里，这个期望值μ，只存在于数学抽象当中。

其意思就是，假如有个灭霸用时间宝石，或是奇异博士用他的游历多元宇宙的能力，把多元宇宙里同一时刻的结果值记下，并取平均值，这个值就是股价在那个时间点的期望值。

然后数学家们又提出方差这个概念，用来衡量实验结果的离散程度。

你瞧，两组数据：（50，50），（1，99），这两组数据的平均值都是50，可是离散程度却相差很大。

我们把实验结果值记为X，这个X被称之为随机变量。

而期望值μ也可以记为 E(X)

而方差 亦可以记为 Var(X）

而开方后就是σ，被称之为标准差。

没学过概率论的朋友，先不要纠结为什么要这样设定，以后我会在专栏内别的文章详细解释。

期望值、方差、标准差，这是随机变量的参数，这只有在上帝视角才能预先知道的。

但学到初等概率论的后面部分，就会学到“参数估计”——我们是可以从历史的已发生实验结果，来估算其随机变量的参数的。

例如期望值，前面提到随着实验次数的增加，其实验结果平均值（亦称为样本均值）会越来越接近真实期望值。

还有方差也是，通过多次实验的结果代入公式：

算出样本方差其中里面就是样本均值。

随着实验次数的增加，样本均值会越来越接近真实期望值μ，于是样本方差亦会越来越接近真实方差（至于为什么分母是n-1而不是n，这要涉及到有偏估计与无偏估计的区别，未来我会在专栏内出一篇文章讲解）

我们可以说随着n的增加，实验结果平均值会向真实期望值μ收敛。

而已经进行完的n次实验结果的结果值加起来的和，我们记为T，那么T是不是就等于啊？毕竟嘛！

而随着n的增加，会向μ收敛，那么，我们是不是也可以说，未来n次实验的结果的和T或，是不是随着n的增加，向nμ收敛啊？？

未来的和的结果并不会往nμ收敛，而是会发散，只是其期望值还是nμ。

这是初等概率论里这一部分最反直觉的地方。既然未来的样本均值随着n增加往真实期望值μ收敛，那样本和为什么不是往nμ收敛呢？？！

首先，方差有个重要性质，那就是它的累加性。

同样，期望值μ也是有累加性。

一次实验的期望值是μ，方差是，那么n次实验的的和的期望值就是nμ，方差则是。也就意味着，实验结果的和的离散程度是随着n的增加而增加的。

当然，这方差的性质是需要严谨的数学证明的，其证明过程在概率论教材里面必然列出的，老师也是必教的，其证明过程很简单，基本上就是小学生算术的水平，大家可以直接问deepseek或者千问，我在这里就不展开了。

实验结果和的方差是，那么标准差自然就是它的开根：

那么，如果要用一个式子表达未来n次实验结果的和，那就是：

其中Z是满足期望值为0，方差为1的正态分布随机变量，记为 Z~N(0,1)

这个式子它不是一个确定的值，是个不定式，你可以把它看成是一个数学建模。其中等式右边只有Z是不确定的，其他的参数μ，σ，是视情况可以被确定的。

有小伙伴就要问了，为什么加的是标准差，不是方差？

那是因为，只有标准差构成的这个式子（其中nμ是可确定值），其式子的结果值的概率密度函数，对应回可能取值的概率密度函数，两者是一一对应吻合的，它们的函数图像是一样的。

其中Z又必须是满足期望值为0，方差为1的正态分布随机变量，记为 Z~N(0,1)，这才能让等式左右两边的取值的概率密度函数相吻合。

当然，这也是要严谨证明的，其实这证明一点都不难：

首先根据中心极限定理，不管是什么类型的随机变量的概率分布，它未来实验结果值的和的概率分布都是正态分布，并且这个以结果和作为随机变量的正态分布的期望值μ就是原来随机变量的期望值乘以实验次数n，方差就是原来随机变量的方差乘以实验次数n。

于是

而等式右边，首先 Z~N(0,1)，根据随机变量期望值与方差的性质，如果随机变量乘以一个系数构成新的随机变量的话，那么这个新的随机变量分布类型不变，其期望值，就是原来随机变量的期望值乘上这个系数，而新的随机变量的方差，就是原来随机变量的方差乘上这个系数的平方，而原来Z的期望值是0，乘上系数还是0，所以

而根据随机变量期望值的平移性，随机变量加上一个固定值构成新的随机变量，那么这个新的随机变量的期望值就是原来的期望值加上这个固定值，所以

这就跟 的分布函数完全一样。

所以 这个式子里，我们可以把nμ称之为“漂移项”，称之为“随机项”。

看到这里，我相信一些爱较真的小伙伴，心里面还是有个疙瘩。如果是学过概率论的话，上面的每一步都能看得懂，方差的性质也不会陌生，但就是感觉，还是很反直觉。

——那是因为，你还没有从现实直观的角度去理解。

有些人学数学，觉得只要推导的每一步都能看懂，甚至能背下来，就以为自己掌握了这个知识点了。但其实，比起数学推导，在脑海里建立几何直觉要重要得多。

下面我就带大家建立起现实直觉，这是为了更好的理解后面要讲的几何布朗运动做准备。

首先，虽然 随着n的增大而增大（说的严谨些应该是随着n的增大，方差增大）

但如果求均值，也就是单次实验的μ，随着n的增大是越来越收敛于μ的。

因为当n趋于无穷大的时候，是趋于无穷小的，自然式子结果就是趋于μ。

想象一下，随着n的值越大，虽然样本均值会非常接近μ，但那细小的差别，累积n次后，就会显得很大了。

但是，随着n趋于无穷大，nμ跟 都是趋于无穷大，但的趋于无穷大的速度要比nμ慢很多，最终是比nμ低阶的无穷大。

什么是低阶无穷大？ 意思是这个无穷大，在nμ这个更高阶的无穷大面前是显得无穷小的。

因为 ， 当n趋于无穷大的时候，这个式子是无穷小。那么这意味着分母是分子的高阶无穷大。

这时候哪怕加上个系数Z，这个Z不管取什么值，在nμ面前也是显得无穷小的。

（关于低阶无穷大跟高阶无穷大，大家可以在脑海里这么想象：一个正方形的面，是不是能容纳无穷多条线？同样的，如果是个立方体，同样也能容纳无穷多条线，但同时亦能容纳无穷多个面，所以正方形在立方体面前显得无穷小了。而正方形就是相对于立方体的低阶无穷大，立方体就是相对于正方形的高阶无穷大。）

所以，随着n的增大，标准差的绝对值虽然也越来越大，但比上和的期望后，其比例是越来越小的。

举个形象点的例子，假设现在扔硬币，正反面的概率各占50%。如果扔中一次正面，数值+1，如果扔中一次反面，数值-1。

那么不管扔多少次，结果和的期望值都是0的。

但是实际上，最终的和的结果可能是偏离0很大一段距离的。

有人就会困惑，按照大数定律，两者的频率应该越来越接近50%才对啊！

是的，没毛病，但你可能把频率跟频数给混淆了。

假如，最终结果的和是1000，意味着正面的次数比反面次数多了1000次。

看上去很多，但如果我告诉你，这是扔了1000亿次的结果呢？那么正面的次数是500亿零1000次，它比上1000亿，频率是不是非常接近50%？

所以，在频数上，两者的差距可以越来越大，但在频率上，是越来越接近50%的。

希望以上内容，能消除你在方差累加性的困惑，如果还是想不明白也不要紧，可以继续往下看。

我们可以看到，随着n的增加，比上nμ的比例会越来越小。但如果反过来，n的次数减少的话呢？其比例是不是越来越大啊？

——记住这个结论，这对理解几何布朗运动非常重要。

接下来，如果我把上面的实验次数n，换成时间t呢？

例如量子力学里面，研究粒子的随机游走，是以时间t来观察其位移的。

我们可以把粒子的总位移记为D。

如果已知一个粒子的随机游走，在一个单位时间T内的期望值是μ，方差是。

那么，时间2T内例子位移的期望值是不是2μ，方差就是2啊。

那如果是呢？期望值就是1/2μ，方差就是

所以，这个随机游走表达式就可以写成：

其中t就是单位时间T的系数。

而我们把单独抽离出来，这个就是几何布朗运动，它是满足期望为0，方差为t的正态分布随机变量：

亦称为对称随机游走。

为什么期望为0，方差为t？ 因为上面论证了，设定是 Z~N(0,1) ，而期望值跟方差都有一个性质，就是随机变量乘以一个系数的话，那么其乘上系数后的随机变量的期望值μ就会乘上同样的系数，方差则是乘上这个系数的平方。而原本期望是0的话，乘上系数还是0，方差是1的话，乘上系数的平方就成了t。所以。

接下来我们把上式进行微分，也就是把时间无限分割，求它的瞬时增量：

然后我们把 换成另一种表达方式，变为dw

这个dw，亦称为“维纳过程”，也叫瞬时几何布朗运动。

那么原式就变为：

如果光看这个式子，你是得不出任何有价值的结论。

但一旦结合伊藤引理，神奇的事情发生了。BS定价模型就是基于此。

“几何布朗运动”，其实是人类抽象创造出的数学概念，它其实在现实中并不存在，就如同现实并不存在绝对意义的圆，并不存在绝对意义的自然常数e对应的连续变化，而人类创造出这种抽象的数学概念，是为了作为一个参照物，去衡量于描述某一类状态。

而几何布朗运动就是一个基础参照物，可以通过以它为基数、加系数的方式去描述或定义其他随机游走，而通过研究几何布朗运动的性质，就可以把这些性质套用到其他不同的随机游走。如果几何布朗运动可以在入到微积分的运算体系中，那么其他随机游走就可以加入到这个运算体系。

所以几何布朗运动就相当于一个桥梁，嫁接了随机游走与一般微积分运算。

而BS定价模型的偏微分方程法，就是通过结合伊藤引理，解偏微分方程求出σ。

怎么做到呢？我会在下篇文章详细说。

解得出的σ的值，就是隐含波动率，也称之为IV。

它一般来讲就是以一年的收益率作为随机变量的标准差，其中式子里面的r也是默认为年化无风险收益率（或者是年化市场利率、年化国债收益率）。而式子的t是以年为单位算的，如果是一天的话，对应的t就是1/252，252是一年的交易日。（但这也不要紧了，反正dt是无穷小，并且两边都约去了）

那是因为默认 里面的σ是年化标准差（或年化波动率）。如果你想算未来一天的标准差，那就是当然，你可以不喜欢这样的默认设定，你可以设定默认σ是半年的波动率，甚至是1小时的波动率，只要相应的把r设定为相同时间段的无风险收益率就好。

上面是从数学推导的角度推出，接下来，我们该如何从现实直观的角度去理解上面的过程？求出了隐含波动率后又能怎样呢？

首先，隐含波动率的意义，其实就是一年后的时间点，可能出现的结果的离散程度。

而一段时间后的对数收益率服从正态分布（这里先不要纠结什么是对数收益率，以后专栏会讲）

直接直观的讲，如果σ的值偏大，那么一年后这个时间点的对数收益率的概率密度函数大概是这样：

这个概率密度函数的特点是什么呢？

首先概率密度函数图像与x轴围成的面积必然是1（对应着概率100%），而这图像的线是往两边无限延申的，所以越往两边概率密度越低。

而我随便划定一个取值范围：

意思就是未来一年后的收益率，落在a跟b之间的概率，那么是多大呢？

就是从a点跟b点以垂直于x轴的方向出发，连接到这个函数图像，围成的面积，就是一年后的收益率落在a跟b之间的概率：

那么如果标准差σ比较小的话，图片就会变成这样：

你瞧，这样围成的面积，是不是比前面的大，意味着未来一年后的收益率落在a跟b之间的概率要比前者大。

如果这个围成区域的面积，占了总体区域面积的90%，就意味着这个概率就是90%。

所以并不是说方差小，收益率就不可能偏离μ很远，它还是有一定概率的，只是这概率比较小。

而如果你关心的不是一年后的σ，而是一个月后的，那你就可以把这个σ值平方后，除于12，然后再开方，就是

从现实的角度，市场的参与者，可能大部分都不知道什么是σ，什么是期望。

但却是他们的集体主观意识，推动了行情，决定了现在的市场状态。

例如，在某个行权价，市场参与者们凭感觉觉得这里做Δ对冲策略，未来波动的收益、也就是gamma收益会比较大，于是就积极的买入V-ΔS组合，于是推高了V的价格，于是时间价值被推高。

反过来，如果市场参与者们凭感觉觉得，未来这价格不会有太大波动，同时觉得这时间价值有点高，于是就是积极的买入-V+ΔS组合，于是压低了V的价格，也就是时间价值被压低。

于是市场就会达到某种均衡状态，这是集体意识下导致的。

而Δ又如何决定？

首先，越是深度实值的期权，其Δ越接近1，上面已经解释过了，因为越是深度实值的期权，那么时间价值越低，时间价值越低，内在价值的变动权重就越高。

而如果到了行权日，只要是实值期权，Δ值必定是1，如果是虚值期权，Δ值必定为0.

（平值期权比较特殊，Δ值是0.5，以后我会在别的文章解释。）

而在距离行权日还有一段时间的时候，如果市场参与者，主观觉得未来这个S的价格，局限在比较小的区间，也就是σ比较小。

那么以现在标的市场价，也就是S为中心，实值期权行权价远离S的合约，会随着距离远离的过程中其Δ值会更快的接近1，虚值的话则更快的接近0。

因为市场参与者们，觉得跌破深度实值期权行权价的可能性很低，或是觉得涨破深度虚值行权价的可能性很低，于是时间价值就会被压低。

反之，如果市场参与者们觉得未来S的价格波动比较大，那么就觉得跌破深度实值期权行权价、或涨破深度虚值期权行权价的可能性比较大，于是时间价值就会被推高。

也就是说，市场参与者对未来价格波动幅度的主观预测，决定了这不同行权价间时间价值的递减幅度，于是就决定了Δ的变化速度，也就是决定了gamma值。

所以，在无风险收益率给定的前提下，这市场状态给出的θ值，跟gamma值，映射出了市场参与者集体意识下的σ。

这就是隐含波动率IV的本质。

那么怎么利用它盈利呢？

因为这是市场参与者集体主观意识决定了IV，而他们未必是理性的，他们的集体意识下导致的IV，极有可能偏离真实σ。

当然，这个真实σ只有上帝知道。但我们可以通过“参数估计”里面关于样本方差的性质，用历史数据来推测总体真实σ。

就是这个公式：

这个就是通过历史数据，估算真实方差，其中n越大，越逼近。

用对真实方差的估算值，开方后，就是对真实波动率σ的估算值，我们称之为HV。

然后拿HV跟IV对比，如果IV低于HV，就说明现在的期权价格下，IV被低估了。

一般情况下，市场最终呈现的，更有可能是跟HV接近的波动率。

那就意味着，这时候可以做多波动率，其方法是就是构建组合V-ΔS，赚取高卖低买的收入。

反过来，如果IV高于HV，那么就做空波动率，其方法就是构建组合-V+ΔS，这时候gamma亏损会较低，低于θ收益。

你也可以直接做多或做空看涨期权合约本身，因为如果上面操作的人多了，自然就推动V的价格，使之符合HV。

相信有人要问了，凭什么HV一定是对的，IV就一定是错的呢？难道就不可以机构提前收到了消息，预见到未来波动率会发生改变吗？

一般来讲，市场消息、或庄家的预先操盘，影响的是μ，而不是σ。因为一般都是机构提前知道利好或利空消息，于是提前布局，提前做多或做空标的。

而提前预知波动率？预知到未来价格会更不明朗，还是更明朗？

当然，这市场没有绝对的事情，其中还有“肥尾效应”，还有“波动率微笑曲面”所反映出来的信息，这会在未来专栏里详细讲解。

如果你想更深入的理解期权与BS定价模型，关注我，下一篇详细讲