公考金牌讲师

爆剧《你一个公考讲师，咋成国师了》主角陈文穿越到古代的致知书院当教书先生，六大核心弟子组成了精英班。

题目呈现

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

这是《孙子算经》里最经典的一道题，后世称之为韩信点兵。

剧照

陈文适时地开口：“李浩，把你解题的思路说与大家听。”

李浩有些紧张，他站起身，看了看大家，才说道。

“回先生，此题学生用的是累加法。”

“先寻七七数之剩二之数，有二，有九，有十六，有二十三……”

“再从中，寻五五数之剩三之数，得二十三。”

“最后验算，二十三，三三数之，恰剩二。故，此数为二十三。”

他的解法是一种最基础的试错法，但因为他对数字的敏感，所以速度极快。

陈文点点头，没有评价，而是看向周通。

“周通，你可有不同之解？”

周通站起身，他没有用算筹。

李浩起立回答

他走到黑板前，拿起木炭，写下了一行字。

“三五之公倍，为十五。十五除七，剩一。”

然后，他又写下第二行。

“所求之数，除七剩二。故，当为两个十五，减去一个七的倍数。”

“两个十五，为三十。三十减七，得二十三。此数为解。”

如果说，李浩的解法是术。

那么周通的解法，便是道。

他已经隐约触及到了同余理论

观后感

物不知数是古代数论里的经典例题。求一个数，有以下三个性质：①模3余2；②模5余3；③模7余2。

这道题有无数个答案，最小正整数解是23。

为什么有无数个答案？

因为lcm(3,5,7)=105，即3,5,7这三个数的最小公倍数是105,所以本题答案是23+105k，k=0,1,2,3......

答案不重要，解题思路以及背后的思考方法才是我们关注的焦点。接下来我们揭秘周通脑海中的想法。

周通是这样想的：这个未知数有三个性质，要同时满足太困难了。但是我们可以考虑，让两个性质的余数为零，这是第一步。然后满足最后一个性质，这是第二步。

在保持最后一个性质不变的基础上进行调整，设法满足前两个性质。这是最后一步。通过三步走的方案，就得到答案了。

具体过程：设未知数为x，考虑x模3余0和x模5余0。显然3和5的最小公倍数15满足这个条件。

显然，15≡1（mod 7），即15模7余1。于是，两个15就模7余2，得到30≡2（mod 7）

这样，就满足了性质③。

30-7这样的操作同样满足保持性质③不变的要求。

现在考虑30-7对模3的影响。因为7=3+3+1，所以，30-7≡-1（mod 3），而-1≡2（mod 3）。这很好理解，模3余2和模3余-1是一回事，余两个和借一个余0是一回事。

所以，性质①满足。

再考虑30-7对模5的影响。因为7=5+2，所以，30-7≡-2（mod 5），而-2≡3（mod 5）。这也很好理解，模5余3和模5余-2是一回事，余三个和借两个余0是一回事。

所以，性质②满足。

三个性质全部满足，周通漂亮的解法轻松得到答案23。

本题是有标准解法(通法)的，即套公式计算，过程如下：

x=2×70+3×21+2×15=233，求最小正整数解则需要两次减去105，即233-105-105=23

为了辅助记忆公式，明朝数学家程大位编了一首歌诀：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝。

七子团圆正月半，

除百零五便可知。

这首歌诀你可以把它看作为一个严密的数学公式，也可以把它看作为一个标准算法。

第一句：未知数模3余2，故2×70=140。

为什么选中70这个数？因为70模3余1，用小学的带余除法表示就是：

70÷3=23......1

同时，70是5和7的公倍数，所以，140满足性质①，又不影响性质②和性质③

同理，21模5余1，还是3和7的最小公倍数，所以3×21=63既满足性质②，又不影响性质①和性质③

同理，15模7余1，还是3和5的最小公倍数，所以2×15=30既满足性质③，又不影响性质①和性质②

140+63+30=233，超过了3,5,7的最小公倍数105，所以，连续减去105两次就得到23这个最小正整数解。

标准解法和周通的解法对比，后者蕴含的思维智慧熠熠生辉。周通洞察了数字之间的整除和余数的关系，用最少的计算量直击问题的本质。

例题太特殊了，模3和模7的余数都是2。如果改一下，改成模7余4，其余条件不变，题目就一般化了。

这个问题依然难不住周通，模仿他的思路，解答如下：4×15=60，就满足了性质③，再减去7，就得到答案60-7=53。

特别收录

高斯《算术研究》第一章第一节第一条：

假如数b和数c之差能够被数a整除，则称b和c对于a同余；反之则称b和c对于a不同余。我们将数a叫做模。如果b和c同余，则b和c互为对方的剩余，如果不同余，则称其互为非剩余。 这里的数必须是正整数或者负整数，而不是分数。例如，-9和16对于模5同余；-7对于模11是15的剩余，但对于模3是15的非剩余。 因为0能被任何数整除，所以对于任何模来说每个数都与其自身同余。

第二条：给定数a，它对于模m的所有剩余都在式a＋km中，其中k是任意整数。由此可以推导出下文给出的显而易见的定理，对这些定理做直接证明是很容易的。 从现在起用符号“≡”来表示同余，必要时可以在后面加上圆括号并写出模；例如，-7≡15（mod 11），-16≡9（mod 5）。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。