“车轮悖论”，也被称为“同心圆悖论”，这是由古希腊哲学家、科学家和教育家亚里士多德在《论机械》（Mechanica）中提出的一个让许多数学家感到困惑的谜题：

假设有2个同心圆，一个是车轮，一个车轴，那么当车轮沿水平线滚动一圈时，这两个圆的底部会移动相同的距离，这究竟是为什么呢？

请看这个动图：

再来看一个：

发现问题了吧！

九年义务教育告诉我们半径R大的周长肯定比半径r小的周长颗肯定要长，那你怎么解释这两个圆却走出了同样的距离呢？

在刚性车轮的悖论中，四个同心圆看似都完成了一个旋转，它们沿着四条线段从左向右移动。

由于这些线段长度相等，人们自然会推测出所有圆的周长也应当相同，是吧？

然而，这个结论显然是不正确的，甚至一个蹒跚学步的孩子也能一眼看出问题。

那么，问题到底出在哪里呢？

这里有一个关键假设：刚性的车轮确实做了一个完整的转动。

为了更好地理解这一点，您不妨停下来，拿起笔和纸，亲自试一试。或者和孩子一起动手试试！当你准备好了，再继续往阅读。

回到主题。

在深入解决这个有趣的悖论之前，先让我们回到过去，了解一下亚里士多德之轮的起源。

其实，这个问题来源于亚里士多德的《力学》，这本著作包含了各种数学和哲学问题的简短集合，虽然不知道是不是当年大家一起写的，但为了给个著作权所以被传统上认为是亚里士多德的作品。

机械师: 右边的图是亚里士多德的车轮！

在《力学》中，"问题24" 提到了如下描述的车轮：

（注意下面这段话无需细看，了解即可！）

“让我们设想有一个较大的圆ΔZΓ和一个较小的圆EHB，它们的中心都在A点；设ZI是较大圆展开的直线，HK是较小圆展开的直线，且等于ZΛ。当我移动较小的圆时，我也同时移动它们的中心A，并让较大的圆与之连接。当AB垂直于HK时，同时AΓ也垂直于ZΛ，因此它们总是完成相等的距离，即HK对应于较小圆的周长HB，ZΛ对应于较大圆的周长ZΓ。如果四分之一圆展开的距离相等，那么显然整个圆展开的距离也会相等，因此当BH到达K时，周长ZΓ等于ZΛ，整个圆会被展开。以同样的方法，当我移动较大的圆并使较小的圆与之契合时，它们的中心相同，AB与AΓ同时垂直，后者垂直于ZI，前者垂直于HΘ。因此，当一个完成等于HΘ的直线时，另一个完成等于ZI的直线，ZA再次垂直于ZΛ，HA再次垂直于HK，因此它们将回到起始时的Θ和I状态。”

尽管这段话可能有些难以理解，但要点已经在开头提到了。

为了更直观地理解这个悖论，我们来看看两个模仿亚里士多德的车轮悖论木制拼图制作的动画。

动画来自网络

在第一个动画中，当内圈圆嵌在一个半径更大的外圈圆上，它从左向右滑动。请注意，当它移动时，尺子粗略地测量了两个整体之间的距离：从2厘米到6厘米。

动画来自网络

第二个动画，我们去掉大圆，只展示了滑动内圆。当它从左边移动到中心时，尺子粗略地描绘出了第一个动画中显示的相同距离（从2厘米到6厘米）。

奇怪不，那么，问题出在哪呢？

图中所示的车轮在从P1移动到P2的过程中进行了一个完整的旋转。那么，如何解决这个悖论呢？

伽利略对此进行了独创性的分析，他的方法如下：

假设我们用两个正方形的轮子代替两个圆形的轮子。当大轮子在转角处旋转来完成四分之一的转动时，小轮子才会在转动时离开原来的位置。

所有这些小部分移动加起来，并给内轮额外的水平位移。

对于边数较多的多边形车轮，小车轮在旋转时执行许多较小的跳跃。同样，这些较小的跳跃达到顶点的内轮的额外位移沿轨道。

在圆形车轮的极限情况下，这相当于小车轮在转动时向前滑动。

在现代数学中，这个悖论的解答可以通过“滚动而不滑动”的概念来理解。

当两个圆相互接触且滚动时，它们的接触点在每个瞬间都有相同的线速度。

但是，因为外圆的周长比内圆大，所以内圆的每个点都必须滑动一些才能与外圆保持同步。

这意味着内圆的实际运动距离小于外圆，因此它们的周长并不相等。

亚里士多德的车轮悖论不仅在数学上引人入胜，也在哲学上引发了许多思考。

它挑战了我们对空间、运动和几何关系的直觉理解。这种悖论展示了我们的日常经验和数学理论之间的矛盾，使我们重新审视这些基本概念。

结语

亚里士多德的车轮悖论提醒我们，即使是看似简单的问题也可能包含深刻的复杂性。