正七边形中的线段关系 如下图，ABCD是正七边形的四个相邻顶点，则有1/AC+1/AD=1/AB。 证明：从结论出发，要证结论，就要证AC·AD=AC·AB+AB·AD。 设正七边形外接圆半径为R，每边所对圆周角为α，则7α=180°，内角为180°-2α 所以AC=2Rsin(180-2α)=2Rsin(2α)，AB=2Rsinα，AD=2Rsin(180-3α)=2Rsin(3α)， 代入欲证等式得：sin(2α)Rsin(3α)=sinαsin(2α)+sinαsin(3α) 和差化积可得：cos(5α)-cosα=cos(3α)-cosα+cos(4α)-cos(2α)，化简得：cos(5α)+cos(2α)=cos(3α)+cos(4α)，由于3α与4α互补，5α与2α互补，所以cos(5α)+cos(2α)=cos(3α)+cos(4α)=0，所以AC·AD=AC·AB+AB·AD成立，所以有1/AC+1/AD=1/AB成立。
