相交弦定理与垂径定理解竞赛题 如图，BE、CF分别为锐角△ABC的两条高，以AB为直径的圆交直线CF于M、N，以AC为直径的圆交直线BE于P、Q，证明：MNPQ四点共圆。 设△ABC的垂心为H，则MH·NH=(MF-HF)(NF+HF) =(MF-HF)(MF+HF)(根据垂径定理NF=MF) =MF²-HF² =AF·FB-(AH²-AF²)(前边相交弦定理，后边勾股定理) =AF(FB+AF)-AH² =AF·AB-AH²。 同理可得PH·HQ=AE·AC-AH²。 易得BFEC四点共圆，根据割线定理可得 AF·AB=AE·AC，所以可得MH·NH=PH·HQ，所以MNPQ四点共圆。
