创造力是怎样激发出来的：解一道关于长方形的难题

如果我告诉你长方形的长和宽分别为a和b，让你求它的周长和面积，那么你会觉得这个任务枯燥乏味。

但是，把题目改成这样:

画出两个长方形，使第一个长方形的周长恰好为第二个长方形周长的两倍，同时第二个长方形的面积恰好为第一个长方形面积的两倍。

长方形难题

现在感觉数学题有点儿刺激了吧？

通过简单的升级，我们把一个程序化的“苦差事”变成了相当费脑的小谜题。有一次，我把这道题作为期末考试的附加题，全校的六年级学生都被难倒了(同样，这道题的答案见尾注)。

这个变化过程表明，创造力需要自由，但又不能只有自由。如果我只要求“画出两个矩形”，这样漫无边际的问题不过是湿漉漉的火柴，是无法点燃创造力的。为了激发真正的创造力，我们需要的是有约束条件的难题。

还是回到终极版井字棋的例子。每次轮到你做选择的时候，你能走的地方都不多——可能有三四个吧。这就足以让你尽情发挥想象了，但又不至于让你想太多，陷入有无数可能性的沼泽。正是通过提供足够的规则和足够的约束，这个游戏才激发了我们的创造力。

这个例子很好地总结了数学的乐趣:创造力源于约束。如果常规的井字棋是一般人所了解的数学，那么终极井字棋才是数学本来的样子。

其实，所有的创造力都是在约束下激发的。用物理学家理查德·费曼的话来说，“创造力就是穿着约束衣的想象力”。比如十四行诗，它就有严格的格式限制——格律要严谨，语句要整齐，用词要押韵.....就连莎士比亚都要先满足这些条件，才可以用诗表达爱意。但这种约束非但没有使作品的艺术性打折，反而使其更为突出。或者，看看体育运动吧。在足球赛场上，在严格遵守比赛规则、不用手碰球的同时，球员们为了把球踢进球门，创造了“倒挂金钩”和“鱼跃冲顶”。违反了规则，就失去了比赛的风度。即便是那些古怪前卫、挑战传统的艺术，比如实验电影、表现主义绘画、职业摔跤，也都是通过对抗其所属媒介的约束来汲取力量的。

创造力就是当大脑遇到障碍时激发的能力。只有遇到障碍时，人们才会想尽办法找到一条新出路。因此，没有障碍，就没有创新。

在数学中，这个道理有更进一步的体现。在数学上，我们不只遵守规则，还发明和调整规则。在提出一种可能的约束条件后，我们按逻辑进行运算和推导，如果得到的结论意义不大甚至无聊乏味，我们就要继续寻求更有效的新解法。

以上内容来自［美国］本·奥尔林的著作《欢乐数学》。

接下来，我们来看看书中提供的答案解析：

审题：我们考虑这两个长方形的边长都是整数的情况，这样更有意思。

设第一个长方形的长为a，宽为b，再设第二个长方形的长为c，宽为d。我们约定，a、b、c、d都是正整数。

据题意可知，a+b=2(c+d)，并且2ab=cd。

解题思路：欧拉说过，代数的本质是用已知求未知。

现在我们考虑从上面的两个已知条件出发，推导出两个长方形的边长。

具体说就是，用仅含字母a的代数式表示b、c、d。

b=2c+2d-a

2a(2c+2d-a)=cd

4ac+4ad-2a²=cd

4ac-cd=2a²-4ad

c(4a-d)=2a(a-2d)

令d=4a+1，可以保证c是正整数

代入后整理可得

c=2a(7a+2)

把上式代入b的表达式

b=2[2a(7a+2)]+2(4a+1)-a

=28a²+8a+8a+2-a

=28a²+15a+2

=(7a+2)(4a+1)

于是我们就解出了这两个长方形的边长。

以上的推导给出了无穷个解，但并不是全部的解，因为还有其他的d取值方式可以保证c为整数。例如，这个推导就漏掉了我最喜欢的解:1×33和11×6。我的同事蒂姆·克罗斯(Tim Cross)擅长解不定方程(Diophantine equation), 他向我展示了一种可以描述所有可能整数解的绝妙方法。不过，按照数学领域的“优良传统”，我打算把它作为一个“读者习题”，试试看吧。

读后感

读者习题就是留给我们的作业。几张图片后我们来解答并公布答案。