主要内容：
本文主要介绍正弦函数的四则复合函数y=40sin^2x-83sinx+12的定义域、值域、单调性和凸凹性等性质。
 
函数定义域：
由于函数为正弦函数的四则复合函数，根据函数特征，函数的自变量x可以取任意实数，所以函数的定义域为：（-∞，+∞）。
 
函数的单调性及值域：
∵y=40sin^2x-83sinx+12,
∴y=40(sin^2x-83sinx/40)+12
=40(sin^2x-83sinx/40+6889/6400)-4969/160.
=40(sinx-83/80)^2-4969/160，由于|sinx|≤1，可知，
函数在定义域上为增函数。其值域如下：
(1)当sinx=1时，y有最小值，即：
ymin=40(1-83/80)^2-4969/160=-31。
或者直接代入函数有ymin=40-83+12=-31。
(2)当sinx=-1时，y有最大值，即：
ymax=40(-1-83/80)^2-4969/160=135。
或者直接代入函数有ymax=40+83+12=135。
即函数的值域为：[-31,135]。

函数的凸凹性：
∵y=40sin^2x-83sinx+12，
∴dy/dx=80sinxcosx-83cosx,
d^2y/dx^2=80cosxcosx-80sinxsinx+83sinx
=80cos^2x-80sin^2x+83sinx
=80(1-sin^2x)-80sin^2x+83sinx
=-160sin^2x+83sinx+80
=-160(sin^2x-83sinx/160)+80
=-160(sin^2x-83sinx/160+6889/102400)+80+6889/640
=-160(sinx-83/320)^2+58089/640,可知:

当sinx=83/320时，d^2y/dx^2有最大值，且：
(d^2y/dx^2)max=58089/640;
当sinx=-1时，d^2y/dx^2有最小值，且：
(d^2y/dx^2)min=-163。
所以(d^2y/dx^2)的取值范围为：[-163/1,58089/640]。
令d^2y/dx^2=0时，则160(sinx-83/320)^2=58089/640，此时有：
sinx=83/320±17√201/320,
即sinx≈-0.49或sinx≈1.01＞1,后者舍去。
综上可知，函数y的凸凹性如下：
(1)当sinx∈[-1,-0.49]时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数；
(2)当sinx∈(-0.49,1]时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数。