数学中神奇的虚数i

一提到虚数，很多人第一反应就是不真实，是想象出来的，数学家自嗨用的工具，毕竟这个名字里面就带了一个虚字，世界上哪里有两个相同的数相乘等于负数的，这东西肯定是不存在的。
如果你这么想，那你就错了。
虚数是理解宇宙的终极拼图。但是我有一句话告诉你，实数的物理意义是伸缩，而虚数的物理意义是旋转。
听完这一题，你就会发现，如果没有虚数，我们甚至无法描述一束光一阵风，甚至无法理解量子力学。首先，咱们建立一个直观的概念实数。比如说，我们说的123，它在数轴上代表的是拉伸，乘以2就是把长度变成两倍，乘以负一就是把方向旋转180°。那如果你想描述转弯，怎么办？比如我怎么把一个指向右边的向量，让它指向上边，这时候虚数I就闪亮登场了。在负平面上，虚数I并不是一个不存在的数，它其实是一个旋转算符。当你给一个数乘以一个I时，在数学的视角里面，它的。相当于在空间里向上旋转了90°，你看1×I就是向上旋转了90°，I再乘以I再旋转90°就变成了负一。那么这就是为什么A的平方就等于负一。它的意义就是旋转两次90°正好等于180°。所以，虚数不是为了虚构而生，而是为了描述空间变化而生的。说到旋转，就不得不提那个被誉为宇宙最美公式的欧拉公式，e^iθ=cosθ+isinθ。
很多同学背这个公式背的很头大，其实它的物理含义极其浪漫。cosθ是在水平方向的投影，Sinθ是在垂直方向的投影。当这两个分量配合上虚数I，它们就构成了一个在负平面上完美旋转的点。这个公式本质上是在说，指数函数和三角函数其实是同一枚硬币的两面。指数函数描述的是增长，三角函数描述的是波动和周期，而虚数I就是连接增长与波动的那个桥梁。如果你还觉得虚数I太抽象，那我们再往深走一层，在高等物理和计算机图形学里，虚数I甚至可以被看作是一个二维旋转矩阵，如果我们定义单位矩阵为1，那么虚数I对应的就是一个旋转矩阵，当你用矩阵去算，你就会发现I×I就真的等于负的单位矩阵。所以虚数并不是什么神秘的，它就是一种特殊的数学结构，用来处理二维空间里的旋转和相位。
聊到这儿，你可能会问，这东西这么抽象，在现实中有用吗？答案是，只要涉及到波，就必须用到虚数。比如说，我们用到了交流电，电流是随着时间周期性波动的，它不仅有大小，还有相位，也就是它转到了哪个角度。用实数算相位公式会复杂到让你怀疑人生，但引入虚数之后，复杂的三角函数运算瞬间会变成了简单的指数加减法。再比如量子力学，量子力学的核心就是薛定谔方程，里面也有虚数波函数普西本质上就是一个负数，这就意味着微观世界里的粒子本质上就带有旋转和相位的属性。如果没有虚数，我们甚至无法写出描述原子的方程。
所以，实数描述了物质的规模，而虚数描述了世界的节律。他让我们意识到，宇宙不仅仅是死板的堆积，更是一场无止境的精确的旋转与转动。给学术证明的最好的方式就是理解它的本质，它是人类为了描述一个旋转的波动的世界而找到的那把数学钥匙。