有人“瞪眼”即知答案，有人“折腾”半天也做不出来！这是一道全国初中数学竞赛题：如图，已知a+b+c=6，a²+b²+c²=14，a³+b³+c³=36，求a⁴+b⁴+c⁴的值。

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作为竞赛题，非常考验孩子的直觉能力：①虽然题目未告知a、b、c是否为整数，但考虑到a+b+c，a²+b²+c²和a³+b³+c³均为整数，基本可以猜测（或确定）a、b和c均为整数，且大概率均为正整数。②三个不同的正整数和最小为6，从而可猜测a、b、c分别为1、2和3。③验证：当a、b、c分别取值1、2和3时，a²+b²+c²=14，a³+b³+c³=36，合符题意。④将a、b、c的取值1、2和3代入a⁴+b⁴+c⁴即得a⁴+b⁴+c⁴=98。

注：此解法仅适用于填空题或选择题，作为解答题的话必然会扣分！因为无法确定a、b、c是否还有其他解，从而不能排除a⁴+b⁴+c⁴是否还有其他取值。


如何求解才能排除a⁴+b⁴+c⁴无其他取值？


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提示：“纯粹”的代数运算！无需分别求出a、b和c的值

①求ab+bc+ca
由(a+b+c)²
= a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)，
a+b+c=6及a²+b²+c²=14，
可得
36 = 14 + 2(ab+bc+ca)
从而2(ab+bc+ca)=22
即ab+bc+ca=11

②求abc
由a³+b³+c³‑3abc
= (a+b+c)(a²+b²+c²‑ab‑bc‑ca)，
a+b+c=6，a³+b³+c³=36及ab+bc+ca=11可得
36‑3abc = 6×(14‑11)
即abc = 6

③求a²b²+b²c²+c²a²
由(ab+bc+ca)²
= a²b²+b²c²+c²a² + 2abc(a+b+c)，a+b+c=6，ab+bc+ca=11及abc = 6可得a²b²+b²c²+c²a² = 49

④求a⁴+b⁴+c⁴
(a²+b²+c²)²
= a⁴+b⁴+c⁴ + 2(a²b²+b²c²+c²a²)，
a²+b²+c²=14及a²b²+b²c²+c²a² = 49可得
a⁴+b⁴+c⁴ = 98

此题好在只要求出a⁴+b⁴+c⁴的值即可，而不要求a、b和c的值，否则难度陡增。

但若题目要求a、b和c的值，应该如何求解？

可利用一元三次方程韦达定理（见附录）来构造三个根分别为a、b和c一元三次方程x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x-abc=0，由前述提示内容可得
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0。
观察（或试解）可知x=1为方程的解，故x-1为x³ − 6x² + 11x − 6的一个因式，利用代数式除法可得(x³ − 6x² + 11x − 6)÷(x-1)=x²-5x+6=(x-2)(x-3)，也即有
x³ − 6x² + 11x − 6
=(x-1)(x-2)(x-3)=0，因此a=1，b=2，c=3（或其他对称组合）。

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附录：一元三次方程的韦达定理

类似于一元二次方程的韦达定理：若x₁与x₂为x² + p x + q = 0的两个实根，则
x₁+x₂=-p，x₁x₂= q。

不难证明“一元三次方程韦达定理”——
设x₁，x₂与x₃为
x³ + p x² + q x + r = 0的三个实根，则有(x‑x₁)(x‑x₂)(x‑x₃)=0，从而
x³ − (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁)x − x₁ x₂ x₃=0，故
x₁ + x₂ + x₃ =-p
x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = q
x₁ x₂ x₃ = -r

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