2026年北京大学数学英才班试题出炉，这次的北大数学英才班非常的硬核，只要CMO的金牌以上选手，报道的177人中，有17人是CMO国集，剩下的全是CMO的金牌。这张试卷的题目不仅覆盖了经典数学问题，还深入考察了学生的逻辑推理和抽象思维能力。我们逐题拆解考点与难度，带你看看这些题目到底“难”在哪里！
第一题：介质中的速度与路径优化考点：微分几何与变分法，涉及速度场下的最短时间路径（类似费马原理或斯涅尔定律的推广）。需要推导速率曲线满足的微分方程，并验证特定函数的合理性，最后分析时间最优路径的参数化形式。
难度分析：综合性强，需要扎实的微积分基础和物理直觉，属于中高难度题，是拉开分差的关键题。
第二题：平面曲线的几何极值考点：平面几何与微分几何的结合，考察曲线分割平面上的点到两定点距离和的极小值点的几何性质（类似“光的反射定律”或“费马点”的推广）。需要证明切线与线段的夹角关系，核心是利用导数或几何变换（如对称）。
难度分析：几何直观性强，但严格证明需要微分几何工具，难度中等偏上，对几何思维要求高。
第三题：悬链面的曲率与极小曲面考点：微分几何的核心内容，涉及曲面的第一、第二基本形式，主曲率K₁、K₂的计算，以及极小曲面（平均曲率H=0）的判定。悬链面是经典的极小曲面例子，需要熟练掌握曲面论的基本公式。
难度分析：计算量较大，概念抽象，属于高难度题，是微分几何的基础考核，对公式记忆和推导能力要求极高。
第四题：旋转面的测地线性质考点：微分几何中的测地线理论，考察旋转面上经线的最短路径性质（测地线的定义）。需要证明连接两经线上点的任意路径长度不小于沿经线的路径，可能涉及弧长积分与变分法。
难度分析：抽象性强，需要理解测地线的几何意义和变分思想，难度高，是几何与分析的深度结合。
第五题：抛物线与圆的曲率比较考点：曲线的曲率计算与几何直观，涉及抛物线在原点的曲率半径与相切圆的位置关系（外侧/内侧），需要计算抛物线的曲率公式，并分析圆的半径与曲率半径的大小关系。
难度分析：计算与几何分析结合，难度中等，但需要清晰的几何图像和曲率公式的熟练应用。
第六题：拓扑空间的紧致性考点：点集拓扑的核心概念，紧致性的定义与性质，考察乘积拓扑下紧致性的保持性（Tychonoff定理的特例）。需要利用紧致性的开覆盖定义或序列紧致性证明。
难度分析：抽象拓扑的基础题，难度中等，但对拓扑语言的严谨性要求高，是拓扑学的“门槛题”。
第七题：多项式环的理想结构考点：抽象代数中的环论，涉及多项式环的理想的分类（尤其是商环K[x]/(x²)的结构），需要确定所有理想、素理想和极大理想，核心是利用主理想整环的性质。
难度分析：抽象代数的基础题，难度中等，但需要对环的理想理论有清晰的理解，是代数结构的典型应用。
第八题：二次剩余与模p解的存在性考点：数论中的二次剩余理论，考察方程x²=3在p进数域或模p下的可解性，需要利用勒让德符号、二次互反律判断素数p的条件。
难度分析：数论的经典题，难度中等，但需要熟练掌握二次互反律的计算技巧，是数论基础的“试金石”。
第九题：p进数域上的幂级数与零点考点：p进分析与代数几何的结合，涉及p进幂级数的收敛性与零点分布，需要证明幂级数的收敛性和非零函数的有限零点性，可能用到p进绝对值的非阿基米德性质。
难度分析：高难度题，属于现代数论与分析的交叉内容，对p进数的理解和抽象推理能力要求极高，是“学霸中的学霸”才能攻克的题。
第十题：Tate代数的自同态与同构考点：算术几何中的Tate代数（ rigid analytic geometry的基础），涉及Tate代数的代数结构与自同构群，需要理解Tate代数的定义（幂级数环的商）及其同态的分类。
难度分析：极高难度题，属于前沿数学内容，是为未来研究代数几何、数论的学生准备的“天花板”题，需要深厚的抽象代数和几何背景。
试卷整体分析这张试卷是为选拔顶尖数学苗子设计的，覆盖了分析、代数、几何、拓扑、数论等核心领域，难度梯度明显：前5题侧重经典数学的综合应用，后5题涉及现代数学的抽象结构，尤其是第9、10题，直接对接前沿研究。能完整解决其中3-4题的学生，基本具备清华北大数学系本科前10%的水平；若能攻克第9、10题，绝对是“数学竞赛国家队”级别的天才！
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