郑胜辉学习与思考第3190天

我是刘雪峰，今天为你解读的这本书是《数学觉醒：学会更清晰地思考》。这本书的英文名叫做《Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity》，翻译过来就是：《数学：直觉与好奇心的秘密世界》。

从标题里就能看出一些和我们常识不一样的地方。我们大多数人眼中，数学的核心是公式，公式的背后是严密的逻辑。但这本书告诉我们，要想学好数学，你需要在好奇心的引导下，用“直觉”来学习数学。所以，要想学好数学，关键不是逻辑，而是直觉。这就是这本书的核心论点。

这本书的作者是戴维·贝西（David Bessis）。他是一位科班出身的数学家。他早年在巴黎西岱大学获得纯数学博士学位，研究方向为几何群论。博士毕业后，他先后在耶鲁大学、法国国家科学研究中心、巴黎高等师范学校从事数学研究，研究领域涵盖代数、几何与拓扑学。2008年前后，贝西离开了学术界，创办了一家人工智能公司。

接下来，就让我们跟随贝西的思考，看看如何培养“数学直觉”。你会发现，其中的方法，不仅仅适用于数学领域，还对你的学习、研究、写作都有帮助。我们先来破除一下关于数学的几个误解。

关于数学的几个误解

网上有一个段子："朋友会离开你，兄弟会背叛你，只有数学不会——因为数学，不会就是不会。"数学在普通人眼中之所以如此神秘，是因为几个根深蒂固的观念：

第一，研究数学，就必须进行逻辑思考。

第二，很多人认为，伟大数学家的大脑结构天生就和普通人不一样。有些人天生对数字游刃有余，有些人生来就有良好的几何直觉，但绝大多数人对数学很难“开窍”，无能为力。

贝西针对这两点，给出了直接的反驳。

第一，他通过自己的亲身经历，以及对许多数学家的访谈，得出结论：真正的数学家并不依赖大量的逻辑思考。

第二，作者指出，大数学家的大脑与我们并无本质不同。因为要想成为数学高手，核心不是逻辑，而是直觉。而直觉，是每个人天生就具备的，只是后来我们没有刻意去培养。大数学家们的成长经历以及体验世界的方式，使他们从小就有机会掌握了建立和锻炼数学直觉的方法。正是这种方法，让他们成为了大数学家。但普通人只要遵循正确的方法，同样能够建立这种直觉，让它不断发展壮大。

既然直觉如此重要，那么数学中的直觉究竟是什么呢？我们进入第二节：数学的直觉。

数学的直觉

我们来举一个例子，说明什么是数学中的直觉。现在，请思考一个问题：一条直线能与圆相交于三个点吗？我在这里暂停5秒钟。好，时间到。我想很多人都已经有了答案：一条直线不能与圆相交于三个点。

你是怎么知道的呢？我想刚才你的大脑中，一定浮现出了一个圆和一条直线。这条直线绕着一端慢慢旋转：起初与圆相切，只有一个交点；接着穿入圆内，出现两个交点；然后在离开的一刹那，又变回一个交点；最后完全离开，没有交点。

无论怎么转，交点的数量只在0、1、2之间变化，从来不会出现三个。所以，你得到了答案：一条直线不能与圆相交于三个点。恭喜你，这个答案是正确的。

注意，这个推理过程非常简单。你没有用到任何公式，也没有进行严谨的逻辑推理，靠的完全是直觉和想象力——你在脑海中构建了一幅画面，让直线动起来，答案自然就浮现出来了。这就是一种数学直觉。

直觉除了画面感之外，还有一个重要特点：运用直觉的整个过程，感觉非常流畅，自然而然，不需要借助任何特殊的“窍门”。相反，如果思考过程中需要用到很多技巧——尤其是大多数人根本想不到的技巧——那就不是直觉在起作用了。

书中举了一个例子。贝西17岁那年，高三数学老师讲了一个关于高斯的故事。这个故事很多人小时候都听过：高斯7岁时，老师让全班同学计算从1到100的整数之和，以为这样能让课堂安静一会儿。没想到，高斯在几秒之内就报出了答案，让老师大吃一惊。

贝西的老师接着解释了高斯用的“窍门”：把从1到100的整数写两遍，排成上下两行——

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + 97 + … + 3 + 2 + 1

不要看行，改看列。一共100列，每列两个数相加，结果始终是101。因此两行数字的总和是100×101＝10100，我们要求的只是其中一行，即10100÷2＝5050。

这个例子给贝西留下了深刻的印象，但留下的不是激励，而是挫败感。这个窍门太奇特了：为什么要加两遍？为什么要倒着排？在没有人告诉你之前，绝大多数普通人根本想不到。但它偏偏又是对的，当你仔细验算时，不得不承认它完全正确。

我想这种感受，在我们学习数学的过程中，绝不陌生。我自己读一些数学论文，也会有一种智商被碾压的感觉：这么绕的思路，居然能被想出来，而且还能被严格证明是对的。

贝西当时的反应，也是许多普通人面对数学天才时的反应：在钦佩之余，得出一个让自己沮丧的结论——数学是为天才准备的，那些人的大脑与普通人不同，才能想到如此不可思议的方法，而自己不适合数学。

但是，经过20多年数学科研训练之后，贝西告诉我们：这种窍门并不是直觉，甚至不是解决这道题的最好方式。他说：“在数学中，如果一个奇迹或一个想法看似从天而降，这通常意味着你缺少了一幅画面。你看待问题的方式不正确，或者不完整。一定还有一种更好、更简单、更清晰的方式，只是你尚未知晓，也许还没有人知道。寻找并找到这种正确看待问题的方式，就是数学思维的本质，也是从数学中获得乐趣的主要来源。”

那么，计算1到100的整数之和，最好的方式是什么？作者给出的答案，是我们熟悉的“数形结合”。把每个整数想象成一列正方形的方块，从上到下依次排开：第一行1个方块，代表数字1；第二行2个方块，代表数字2；以此类推，最后一行100个方块，代表数字100。每一行的方块靠右对齐。

这样排列下来，所有方块合在一起，构成了一个阶梯状的三角形。

于是，从1加到100的总和，就转化成了求这个三角形的面积。

如果你记得三角形面积公式——底×高÷2——那么可以这样算：这个三角形底是100，高也是100，相乘得10000，除以2得5000。但要注意，三角形左侧边缘有一列"被切掉一半的正方形"，它们没有被纳入计算。这100个"半方块"加起来贡献了50，所以最终答案是5000＋50＝5050。

如果你不记得面积公式也没关系。玩过俄罗斯方块的人，很自然会想到"补全"的思路：把这个阶梯三角形复制一份，翻转后拼到原来的左边，两个三角形恰好拼成一个完整的矩形。如果你不太理解，可以直接看文稿中的图。这个矩形宽100、高101。我们要求的三角形面积，就是这个矩形面积的一半：100×101÷2＝5050。

这两种方法，都有清晰的画面，推理过程也都自然流畅，不需要任何奇特的技巧。这，才是数学的直觉。

回过头看，老师介绍的那个高斯窍门——把数列加两遍、排成上下两行——其实正是"把两个三角形拼成矩形"这一直觉画面的代数化表达。换句话说，那个令人生畏的窍门，不过是直觉的公式翻译版。当你拥有那幅画面时，窍门就不再神秘，而是显而易见的。

到这里，我想你大概已经理解了什么是数学直觉，也能体会贝西那句话的含义：“在数学中，如果一个奇迹或一个想法看似从天而降，这通常意味着你缺少了一幅画面。”

数学家在思考问题时，脑子里往往有一幅画面。这幅画面就是他的直觉，也是解决问题最核心的东西。几乎所有数学家都有强烈的直觉，而这种直觉，往往体现在对图形和图像的想象上。欧拉晚年双目失明，工作效率却不降反升，正是因为他思考问题依靠的不是在纸上推导公式，而是脑海中的想象。

《数学领域中的发明心理学》的作者雅克·阿达马曾调查了许多出色的数学家，询问他们是借助符号还是图像来思考问题。多数人选择了视觉想象力——即使他们研究的问题和解答在形式上更依赖符号。阿达马拿自己举例：当他思考欧几里得关于质数有无穷多个的证明时，脑海中浮现的不是代数公式，而是一幅画面——已知的质数像一堆散乱的点，而新发现的质数孤零零地远在它们之外。这种模糊的隐喻图像，常常给予他最重要的启发。

然而，数学家借助这些画面得出结论之后，并不能直接把直觉“说出来”。直觉画面是模糊的、不精确的，往往只可意会，不可言传。因此，他们只能把它翻译成严谨的数学语言——公式、证明、推导过程——才能传递给别人。

这个翻译过程，有一个显著的特点。数学家瑟斯顿曾指出：“有时，在将我的思维方式转化为可以传达给他人的内容时，会有一个巨大的膨胀系数。”所谓“巨大的膨胀系数”，意思是：脑海中一幅看起来一目了然的画面，写成文字或公式之后，篇幅可能膨胀十倍、百倍乃至千倍。“一图胜千言”，说的正是这个道理。

这种信息转换带来的困难，在日常生活中也随处可见。举个例子：假设一个人从来没见过鞋带，你给他寄了一双鞋，然后打电话教他系鞋带。你该怎么说？

系鞋带对你来说易如反掌，不假思索、下意识就能完成。但要用语言准确描述给一个完全不会的人，你就必须一步一步地定义每一个动作：哪只手捏哪根带子，从哪个方向穿过去，什么时候拉紧，怎么打结……整个描述过程，会远比你亲手示范复杂得多。

数学的处境与此完全相同。当数学家把脑海中的直觉翻译成严谨的逻辑公式，摆在读者面前的，就是密密麻麻的符号和层层叠叠的推导过程。我们盯着这些高深莫测的公式，完全不知道它们从哪里来、是为了解决什么问题、又有什么实际意义。

这就是我们读不懂数学的根本原因：数学家脑中那幅最关键的直觉画面，从来没有直接传递给我们。我们接收到的，只是经过“巨大膨胀系数”转换之后的大量公式。

这个问题，其实是一个信息传递的问题。我们来好好聊聊。我们进入下一节：信息的传递。

信息的传递

从信息传递的角度来看，问题的本质是这样的：数学家大脑中那幅关键的直觉画面，很难直接传递给读者，必须先经过转换——翻译成逻辑公式，以公式为载体——才能送达接收方。而我们作为接收方，又很难从这些公式中还原出最初那幅最重要的画面。

那么，如何解决这个问题？从发送方（数学家）的角度来说，贝西的建议是：面对面交流。人与人直接沟通时，不只依赖正式的数学语言，还有动作、图表、声音和肢体语言——这些都能比冷冰冰的公式，更有效地传递脑中的画面和直觉。

贝西引用了数学家瑟斯顿的一个发现：当一个重要的新定理刚刚被证明时，该领域的两位专家私下交谈，通常只需“几分钟”就能说清楚；但在一群专家面前演讲，解释同样的结果至少需要“一小时”；如果以书面形式发表，则需要一篇“15到20页”的论文，即使同为专家，也需要“几小时甚至几天”才能读懂。

原因正在于此：面对面交流时，数学家能更自然地把脑中的画面和直觉传递给对方，而不只是递出一堆符号。那么，从接收方——也就是学习数学的我们——的角度来说，能做些什么呢？贝西给出的方法，核心只有一个字：“看”。

这个看，不是看公式本身，而要努力从那些逻辑符号和定义的字里行间，看到背后直观、具体的含义——找到那幅画面。而且，当你真正找到那幅画面之后，用它来理解和解决问题的过程，应该是自然而然的，没有窍门，没有奇巧。

当然，“看”这个字并不总是最贴切的，因为很多感受并非来自视觉。糖的甜味、丝绸的触感、音乐的节奏、熟悉的气味、时间的流逝——这些都是我们看不见，却能真切感受到的。

将抽象概念与身体感觉联系起来的能力，被贝西称为联觉。这并不是少数人才有的特异功能，而是一种普遍的人类认知能力。你可以做一个小测试：看到“巧克力”这个词，你能感觉到某种味道、颜色或声音吗？再看看“999999999”这串数字，你有没有一种隐隐的“很大”的感觉？如果有，那就是联觉在起作用。

所以，读一本数学书，不应该像机器人一样从头扫到尾，而是要主动捕捉“字里行间的想法”——给那些符号和描述赋予直观的画面，以及你内心真实的感受。

20世纪最伟大的数学家之一、1966年菲尔兹奖得主格罗滕迪克，创立了现代代数几何学的整套抽象理论体系，他在一本书中写道：“我一生都无法阅读数学文章，哪怕它十分浅显或简单，除非我能根据自己对数学事物的经验给文章赋予‘意义’——也就是说，除非这篇文章能在我脑海中激发心理图像和直觉，使其生动起来。” 他还说：“在我的工作中起主导作用的，正是在工作过程中形成的心理图像——用于理解数学事物的真实情况，它也是我的工作的灵魂和存在意义。”

我们总结一下：我们可以把写数学文章和读数学文章，看作是一个信息传递过程。作为发送方，数学家先把脑中的直觉画面，翻译成膨胀了几百倍的公式传递给我们；而我们作为接收方，需要做的，就是把这些公式再翻译回“画面”，在自己脑海中重建那种直觉。

这就是通过画面重建直觉的过程。它实际上是信息传递中的一个普遍问题。为了让你理解的更深刻，我想用一个你可能每天都在用、但很少深究的技术来说明这一点：调制与解调。

我们都知道，一个人说话声音再大，也只有附近几十米内的人能听见，因为声音在空气中衰减得很快。但广播电台却能把主播的声音传送到整座城市的每一台收音机，这是怎么做到的？答案就是调制解调技术。

人发出的声音是几百赫兹的低频信号。低频信号无法远距离传播，只有高频信号才能穿越空气到达远方。于是，工程师发明了一种“调制”技术：把低频声音信号的信息“搬载”到一个高频的载波信号上。调制之后，信号本质上仍是高频信号，但其中已经携带了声音的全部信息，因此被称为混合信号。常见的调制方式有调频（FM，改变载波频率）和调幅（AM，改变载波幅值）等。

这个携带了声音的高频信号，通过天线向外发射后，能够传播到极远的地方，最终抵达收音机。

收音机接收到这个高频混合信号之后，还需要把其中真正有用的东西——声音——提取出来，这个步骤就叫解调。收音机内部有专门的LC谐振电路负责解调，将声音信号分离出来后，送入喇叭，还原出主播的声音。你可以对照文稿中的配图看一下。

这个调制解调过程的核心逻辑在于：原始信息（声音）不适合直接传输，必须转换成另一种形式（高频信号）才能送达接收方，这就是调制；接收方拿到转换后的信息，再把原始信息从中抽取还原出来，这就是解调。

从这个角度看，数学家把脑海中的直觉画面转化为公式的过程，就是一种调制；而我们努力从公式中看到那幅直觉画面的过程，就是解调。所以，我们在读数学书的时候，必须要培养自己的“解调”能力。那么，这个解调能力，如何培养呢？我们进入下一节。

如何培养自己的“解调能力”

培养自己的这种解调能力，让自己从公式的字里行间看到直觉画面，的确不是一件容易的事。贝西在书中也没有直接给出具体的方法——我甚至怀疑，这种方法未必存在一个标准答案。但贝西给了我们一个评判标准，让我们可以据此判断自己是否真正看到了那幅画面。

这个标准就是：如果你建立了那幅画面，建立了真正的直觉，那么当你再看这些公式时，会觉得它们是自然而然的，中间没有诀窍，没有技巧，一切都理所当然。只有到了这一步，你才算真的懂了。

贝西在书中讲了一个亲身经历的故事。有一天，他要在一个群论方向的学术研讨会上做报告。报告开始前几分钟，著名数学家塞尔走进来，坐在了第二排。贝西很高兴见到他，但也立刻告诉他：这场报告内容比较基础，是面向普通听众的普及性讲解，恐怕他未必会感兴趣。

报告进行得还算顺利——贝西因为准备充分，所以讲解的很流畅，很多听众都表示听懂了。研讨会结束后，塞尔走到贝西面前，一字一句地说：“你得再给我解释一遍，因为我什么也没听懂。”

这句话乍听令人困惑。塞尔是顶级数学家，报告中的概念和推理对他来说显然不构成任何困难。关键在于，塞尔所说的“没听懂”，和普通人说的“没听懂”不是一回事。

塞尔的意思是：他听明白了贝西讲的内容，却没有明白为什么这些内容“自然而然”是正确的。这让人想起计算1到100整数之和的那个例子。理解一件事，其实存在两个层次。第一个层次是：逐步跟随推理，接受它是正确的。但接受并不等于理解。第二个层次才是真正的理解：你能看出这个推理从何而来，为什么它是自然的，为什么它必然如此。

有意思的是，这种更深层次的“懂”，对于发明这些公式的数学家自己来说同样是必要的。它能帮助数学家对自己的理论形成更深刻的认识。

贝西说，塞尔的那句话深深触动了他。他回想起自己的报告，意识到其中充斥着太多的“奇迹”——太多任意的选择，太多行之有效却说不清原因的东西。这说明他自己的理解，还存在许多巨大的漏洞。在接下来的几年里，贝西为这些“奇迹”逐一寻找解释，填补了一部分漏洞，也由此取得了职业生涯中最重要的研究成果。

这让他得出一句发人深省的话：理解自己数学成果的最好方法，就是想象自己必须向零基础的初学者解释它。说到这里，我想以一个高校老师的身份，聊聊写学术论文的一个技巧。我经常告诉学生：想让你的论文被接收，绝对不能试图用一堆公式把审稿人弄糊涂，而是要学会用一个叫做“玩具示例”（toy example）的方法。

所谓玩具示例，就是一个极度简化的例子，用来清晰地向读者展示你方法的核心思想。玩具示例不需要严谨，但它必须能把你最核心的洞见展示出来，让审稿人“从情感上”理解你在做什么。这里说的"从情感上理解"，意思是：不需要看你论文里的公式证明和实验数据，审稿人就能感受到你的洞见是正确的、是自然的、是不反直觉的。

一旦审稿人在情感上认同了你的核心思想，后面的一切就变得简单了——所有的公式和实验，都只是在为这种理解提供支撑和佐证。

所以，我们过去对科技论文的理解——要严谨，要证明，要做到“晓之以理”——其实并不全面。真正好的科技论文，首先要做到“动之以情”。这里的“动之以情”，不是用抒情打动别人，而是让审稿人从直觉上就能认同你的核心洞见，觉得有启发，觉得很自然，觉得就应该是这样子。

到这里，我想你已经对直觉在数学中的作用有了相当深入的感受。那么，数学最显著的特征——逻辑——是不是就不重要了呢？并不是。我们进入下一节，逻辑的作用。

逻辑的作用

逻辑在数学中依然有它不可替代的作用，只是这个作用与我们通常以为的不同。贝西认为，逻辑有两个核心作用。逻辑的第一个作用，是帮助我们发现直觉中的错误。

我们的直觉，尤其是最初的直觉，有时候并不可靠。为了发现自己心中潜藏的错误，数学家发明了一种方法：用严格的数学语言把想法写下来。这种语言建立在逻辑形式主义之上，正是这种严格性，让我们得以检验直觉是否真的站得住脚。

格罗滕迪克说过一段意味深长的话：在写下来之前，你只有一种模糊的感觉，而不是确凿的证据。但通常你只需要把它写下来，就能发现其中的错误。所以，数学写作的过程，就是将一种鲜活但模糊、不稳定、难以言说的直觉，转化为精确、稳定的文本。在这个转化过程中，你往往会发现之前直觉中隐藏的漏洞。

换句话说，数学中的逻辑不是用来思考的，而是用来检验思考的。它是一种“思维澄清工具”。这是逻辑的第一个作用。

在我们介绍逻辑的第二个作用之前，我想先介绍一个你可能熟悉的框架，帮助我们更好地理解“直觉”与“逻辑”的关系。诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼在畅销书《思考，快与慢》中，将人脑的思维分为两个系统：系统1和系统2。

系统1是快速的、自动的、不需要主观努力的系统——也就是我们说的“直觉”或“下意识”。日常的走路、开车、甚至被热水烫到时下意识缩手，都是系统1在运作。一个人在某个领域积累了大量经验之后，处理相关问题时也主要依靠系统1。它的最大优势是速度极快。但它也有弱点：在面对陌生或复杂情境时，容易出现错误。

系统2则是慢速的、刻意的、需要付出努力的思考机制。解数学题、做逻辑推理、分析复杂问题——这些都是系统2在工作。它要求我们进行抽象推理、逐层分解和严谨的逻辑分析。

在卡尼曼的理论中，我们大脑中的这两个系统是串联的：大脑先让系统1判断问题的难度，如果问题简单，系统1直接给出答案；如果问题复杂，再“上报”给系统2进行更深入的分析。

卡尼曼的建议是，我们要识别出那些需要“抵制”直觉、启动系统2的情况——他列出了一张认知偏误清单，告诉我们：在这些场景下，要主动克服惯性，调用系统2，而不是依赖系统1。

然而，本书的作者贝西对此有不同的看法。他的观点可以这样概括：当系统1的直觉与系统2的逻辑产生冲突，而事后证明是直觉错了，你真正需要做的，不是简单地压制直觉，而是“反思”——用这次错误来更新你的直觉本身。

这个区别至关重要。卡尼曼的建议是绕开直觉；贝西的建议是用逻辑来修正直觉。这就是逻辑的第二个作用：修正你的直觉。

我完全赞同贝西的这个观点。而且，围绕这个问题，我想分享一个我在长期思考和学习中总结出来的方法论。具体来说就是：遇到一个问题，先让你的直觉给一个判断，然后与逻辑系统给出的答案进行对比。如果两者不一致，不要急着接受逻辑系统给出的答案，而是要把这个问题真正想清楚——直到你的直觉也能给出正确的答案为止。

这个方法，我是从杨振宁先生那里学来的。网上有很多杨振宁先生的视频，他在许多场合反复强调，在学习的过程中，一定要重视直觉。而且，他认为最宝贵的学习时机，正是当直觉与书本知识发生冲突的时候

他用自己准备大学入学考试时的亲身经历来说明。他当时借了一本高中物理教科书，闭门自修了几个星期。有一次他读到，书上说圆周运动加速度的方向是向心的，而不是沿切线方向的。杨振宁立刻觉得这与他的直觉感受不符，他原本的直觉认为加速度是沿着切线方向。但书本的答案是指向圆心。面对这种冲突，大多数人的做法是：把答案记住，然后继续往下学。

但是杨振宁的做法不同。他花了一两天时间，把这个问题真正想清楚，他意识到，速度是一个向量，它不仅有大小，而且有方向。匀速圆周运动中，速度大小不变，但方向时时刻刻在转，所以一直有加速度。这个加速度是指向圆心的。因为设想你在圆上的某一点A ，速度向量沿切线向右。走过一小段圆弧到达点B，速度向量依然沿切线向右，但方向已经偏转了一点角度。当时间间隔趋向无限小，这个速度变化的方向，恰好指向圆心。这就是加速度的方向。

等这幅画面在他脑子里扎根之后，“向心加速度指向圆心”就不再是一个需要背的结论，而是一件理所当然的事情。这正是杨振宁说的：把书本知识变成自己的直觉。

杨振宁最后总结说，“到了复杂的物理学，直觉与具体的推导要相互补充、彼此一致。每当遇到不一致的地方，就要坐下来仔细想：为什么原来的直觉是不对的？等到想清楚了，你就把推演出来的东西变成了新的直觉，这样你就又进了一步。这是非常重要的学习方法。如果你想不清楚，马马虎虎就算了，这不行——因为下回遇见类似的情形，你就不会举一反三。”

结语

贝西这本书想告诉我们，数学的关键不是逻辑，而是直觉，而直觉是一种每个人都有，并且都可以培养的能力。在解读的结尾，我想用另一位科学家的话，来为今天的解读画上句号。

深度学习之父、诺贝尔物理学奖得主杰弗里·辛顿，在2025年世界人工智能大会上，主持人问到他能否给从事科研的年轻人的一些建议，他说过这样一段意味深长的话。

辛顿说，如果你想做真正原创性的研究，你应该找一个你认为大家都做错了的领域，按照你觉得对的方式来做。通常这样做的结果会是这样的：你按照自己觉得对的方式做了一段时间，你会意识到自己之前的想法是错的，你会理解为什么每个人都这样做。

但是，辛顿强调，你仍然应该进行这样的尝试，你应该坚持按照你认为对的方式去做，直到你自己明白为什么自己错了，而不是在事前，听从其他人（例如你的导师）的建议，放弃按照自己的方式去尝试。

因为极少数时候，当你坚持走自己相信的路时，会发现自己其实没有错，错的是其他人。这时候，重大的突破就会到来。那些轻易放弃自己直觉的人，是无法取得这种突破的。

辛顿说，支持这个方法的背后有一个简单的逻辑。因为一个人直觉要么很准，要么很糟糕。而如果你有良好的直觉，显然你应该坚持你的直觉。如果你的直觉很糟糕，那么坚持它也没有问题，因为你做什么其实并不重要。所以辛顿总结说，你还不如坚持自己的直觉。

资料来源：得到APP听书栏目。撰稿：刘雪峰；脑图：哈希。声明：除原创内容特别说明外，推送稿件文字及图片和音视频均来源于网络及各大主流媒体。版权归原作者所有，如认为内容侵权，请在文章下方留言联系我们删除。

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