牛顿

虹与流...devant cette nuit chargée de signes et d'étoiles, je m'ouvrais pour lapremière fois à la tendre indifférence du monde. De l'éprouver si pareil à moi, sifraternel enfin,...······在这群星璀璨的夜晚，我第一次向宇宙的冷漠敞开心扉。发现它那么像我自己，真切地像我的一个兄弟……——阿尔贝·加缪《局外人》(Partie 2V)

1665年，牛顿获得了人文学士学位(Bachelor of Arts)。同年，一场大规模鼠疫(Great Plague,1665-1666)席卷伦敦，剑桥大学亦不能幸免，学校被迫宣布停课。牛顿于是年8月回到了家乡沃尔索普村。与世隔绝的乡间生活比之剑桥充满敌意的贵族圈子更适合于牛顿的隐士做派，孤僻的灵魂在这里向整个宇宙敞开心扉。按牛顿自己的回忆，两年的家乡岁月正是自己学术生涯的黄金时期，他在沃尔索普村迎来了自己的“奇迹年”(Annus Mirabilis)¹。牛顿的“奇迹年”里，第一个关键词是“虹”(rainbow)——“大洪水”(deluge)退去后，上帝与诺亚(Noah)立约的标志......

注¹：后来成为英国王室首位“桂冠诗人”(Poet Laureate)的约翰·德莱登(John Dryden,1631-1700)于1667年创作了长诗《奇迹年》(Annus Mirabilis),描述了“伦敦大火”(Great Fire of London,1666)和“伦敦鼠疫”(Great Plague of London,1665-1666)。

9:13 I do set my bow in the cloud, and it shall be for a token of a covenantbetween me and the earth.我把虹放在云彩中，这就可作我与地立约的记号了。——《旧约·创世纪》

1666年，阳光明媚的某日，牛顿在一间暗室的窗上凿了一个直径约⅓英寸(inch)¹的小孔，让阳光通过小孔进入暗室，再经过一块纯净无色的玻璃棱镜片折射，投射到暗室一隅，牛顿观察到阳光扩散为一条彩色的带状图样——如同天上的虹。他又在光路上距棱镜片4-5英尺²(feet)的地方放置了一块半径约3英尺的凸透镜——来自一架3英尺口径望远镜的物镜，使色彩斑斓的光经过透镜折射，汇聚到了10-12英尺远的位置，用一张白纸作光屏，牛顿观察到这些不同颜色的光又混合成原来的白光......按照毕达哥拉斯“七音阶”或“七曜”的传统³，牛顿把自然白光分解出来的色光最初划分为五色光，后来进一步扩展为红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七色光⁴——牛顿，竟然在一间小小的暗室里创造了“上帝之虹”！1670-1672年，身为卢卡斯数学教授的牛顿在剑桥主持了以光现象为主题的讲座。1671年，在致皇家学会(Royal Society)⁵的信——作为第一篇正式论文中，牛顿正式发表了“关于光与色彩的新理论”(New Theory aboutLight and Colors)。1704年，牛顿对光现象的研究终于结集成册刊行于世，定名为《光学》(Opticks),书名来自希腊语的οπτικη,原有“视觉”之意，可引申为“可见之光”。

注¹：1英寸=2.54厘米。注²：1英尺=30.48厘米。注³：七音阶即 do、re、mi、fa、 sol、la、si,据传毕达哥拉斯及其门人发现:相同张力的情况下，若同种弦的弦长比为12:9:8:6,则12:6之间音程差为8度(octave),12:8为完美的4度(prefect 4th),12:9为完美的5度(prefect 5th),9:8为全音程(whole tone)。七曜即日、月、水、金、火、木、土七星，毕达哥拉斯学派相信七曜的运行与宇宙的音律相关。注⁴：即光的色散(dispersion),今天我们可以说每一种色光对应于一个相应的频率或真空波长范围，不同频率或真空波长的光(可见或不可见)相对同一介质有不同的折射率(在空气或真空中的速率与在其他介质中速率之比)，经过同一块玻璃三棱镜片时有不同的偏折角，红光的偏折角最小，紫光的偏折角最大。自然界的彩虹(及“佛光”)现象发生时，空气比较湿润，空气中的小水滴起到了玻璃三棱镜的作用。注⁵：1660年在伦敦成立，全称为“伦敦皇家自然知识促进学会”(The Royal Society of London for Improving Natural Knowledge)。牛顿教授的“光学”消解了“上帝之虹”，无情地击碎了诗人的梦幻。19世纪的浪漫主义诗人约翰·济慈(John Keats,1795-1821)仍然愤愤不平，在长诗《拉弥亚》(Lamia,1819)中将之揶揄为“剪断天使翅膀”(clip an angel's wings)的“冰冷哲学”(cold philosophy)。不过，或许正是这类“冰冷哲学“使得”万物都有了光亮”¹。奇迹年里第二个关键词是“流”(flow)——前苏格拉底时代的哲人赫拉克利特(Heraclitus,公元前535？-前475？)留下的迷思:πάντα ρεῖ 万物皆流在柏拉图的《克拉鲁底篇》(Cratylus)中，又被阐发为:πάντα χωρεῖ καὶ ούδὲν μένει..δίς ές τὸν αύτὸν ποταμὸν ούκ αν έμβαίης.万物皆流，无物常住.....你无法两次踏入同一条河流。在沃尔索普的山村溪流边，牛顿思索着希腊先哲以来的思索——如何刻画这永恒的变化，在运动学中如何刻画非匀速运动的瞬时速率或位移，在几何学中如何处理任意曲线某点切线或围成面积......开普勒、卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri,1598-1647)、笛卡儿、帕斯卡、费马、沃利斯(John Wallis,1616-1703)......再到巴罗，前人的每一小步最终汇集为牛顿的一大步。1664-1665年，在研读沃利斯的《无穷算术》(Arithmetica Infinitorum,1656)以研究传统的面积问题时，年仅23岁的牛顿发现并推导了普遍的二项式定理(Generalized Binomial Theorem):

$$(P+PQ)^{\frac{m}{n}} = P^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n}A Q + \frac{m-n}{2n}B Q + \frac{m-2n}{3n}C Q + \frac{m-3n}{4n}D Q + \cdots$$$$\begin{aligned}(P+PQ)^{\frac{m}{n}} = P^{\frac{m}{n}} &+ \frac{m}{n}A Q \\&+ \frac{m-n}{2n}B Q \\&+ \frac{m-2n}{3n}C Q \\&+ \frac{m-3n}{4n}D Q + \cdots\end{aligned}$$

其中A=第一项,以此类推，即A，B,C,D.....都是它所在项的前一项。当m/n为自然数时，普遍的二项式定理就退化为初等代数中的二项1:3 And God said,“Let there be light", and there was light.

——《旧约·创世纪》。式定理¹，即

如今，初等代数的二项式定理作为数学常识深入了每一个初中代数课堂，但对于绝大多数被迫诅咒数学的中学生而言，在他们不厌其烦地用二项式定理化简整式乘法时，很难意识到它蕴含的力量建立起了沟通静止与运动、跨越有限与无限的桥梁。

飞鸟之景，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止之时。——《庄子·外篇·天下》

据亚里士多德《物理学》记载，活跃于公元前5世纪的埃利亚学派(Eleatic School)的哲人芝诺(Zeno of Elea,公元前490？一前430？)为了宣扬永恒的静止而热衷于阐释运动的虚无——“飞矢悖论”(Arrow Paradox):

...If everything when it occupies an equal space is at rest, and if that whichis in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flyingarrow is therefore motionless......如果任何事物静止时都占据与自身相等的空间，而它在运动的任何瞬间总是占据着这样的空间，那么飞行中的箭矢是不动的。——《物理学》(Book VI Chapter 9)

1665年11月，牛顿终于抓住了那个“动或不动”的“瞬间”，用运动学的语言构造了刻画非匀速运动瞬时速率或任意曲线某点切线的办法——以一个非匀速运动为例:假设一个运动过程，从出发点开始计时，其任意时刻的位移y与时刻x的立方成正比，不妨设y=x³,要求运动过程中任意时刻的瞬时速率。按牛顿的方法，先引入一个无限小且最终趋于零的时间x的增量“瞬”(moment),记为o；在o时间内，位移y的增量定义为“流量”(flux),记为(x+o)³一x³;定义瞬时速率为“流数”(fluxion),为“流量”与“瞬”之比，记为y'(按牛顿的记法，y上方加一个小点表示一阶导数，两个小点表示二阶导数，手机打字打不出来)，则

注¹：每一项的系数可以利用“贾宪-杨辉三角”或称“帕斯卡三角”(Pascal's Triangle)确定。运用牛顿的二项式定理，可以求出y'=3x²+3xo+o²,再令无穷小量o趋于零，最终得到y'=3x²,即任意时刻的瞬时速率。牛顿把这个方法命名为“流数术”(Method of Fluxions)。1666年5月，牛顿在流数运算的基础上推演其逆运算“反流数术”以刻画非匀速运动的位移或任意曲线围成的面积。当年10月，这些成果被隐士牛顿总结成文，但并未公开发表，只在身边的小圈子中流传。

年轻的隐士心满意足，像一个大胜凯旋的老兵一样小心收藏起自己不轻易示人的“战利品”，然后拍拍身上的尘土，从容地奔赴下一个战场。

以上内容引自：德尔斐的囚徒——从苏格拉底到爱因斯坦

作者：李轻舟

原文：

花絮