上面那一章还没有把π的故事全部讲完，正如标题所说的那样，这只不过是π的点滴罢了，因此让我们再继续往下说吧．

希腊人对几何学的贡献在于把这门学科理想化和抽象化了．埃及人和巴比伦人曾用特定的方法来解决特定的问题，但他们却从来没有设法建立通用的规则．

然而，希腊人则努力使几何学通用化，他们觉得数学的图形具有某些永存的、不变的固有特性．他们也觉得，考察这些特性的本质和它们之间的关系，乃是人类体验美和神的绝对本质所能达到的最接近的程度——如果我能脱离科学片刻，闯入人类的宗教领域，我也许要指出，这个观念恰恰是埃德那·圣·文森·米雷（ Edna St . Vincent Millay ）的一句名言中所说的："能觊觎美神真面目的，唯欧几里得（ Euclid ）一人而已．"

为了最终能看清美神的真面目，我们就不得不设想以完美的、理想化的组成部分来构成完美的、理想化的图形，比如，理想直线只具有长度，别的什么也没有；事实上，也只有长度，两条理想的、完美的、准直的理想直线，相交于一个理想的、完美的点，这个点，除了位置而外，压根儿就没有大小．一个圆是一条直线上的各点以完全等同的方式弯曲的线，在这条曲线上的每个点到一个特定的、称为圆心的点均精确地等距离．

很不幸，这样的抽象虽是我们可以想象得出的，但通常却并不是把它们仅仅作为抽象来进行交流的，为了说清这种图形的性质（即使是为了你本人对它们进行研究），就必须用一支尖细的棍子、粉笔、铅笔或者钢笔把它们画在蜡板上、泥地上、黑板上或者纸头上，以助思考，这事实上几乎是少不了的．而所画出的图形却只是一些粗糙的、有宽度的、拙劣的近似线条（可惜，在数学中，美神必须被包裹在衣锦之中，就象在生活中一样）.

而且，为了证明各种几何图形的一些无可言喻的美的特性，通常有必要用到比图形本身所具有的线条更多的线，也许有必要通过一点画出一条新的直线，使之平行于、或者（也许）垂直于第二条直线，也许必须把一条直线分成相等的两部分，或者把一个角的大小加倍．

欧几里得

亚历山大大帝①（ Alexander the Great ）逝世以后，他的几位将军先后统治了古代的世界．其中一位名叫托勒密（ Ptolemy )②的建立了一个后来统治埃及达三个世纪之久的王朝．他把他的京都亚历山大城改造成古代最伟大的文化中心，欧几里得就是曾经在那里工作过的一位第一流的伟大人物．

关于欧几里得个人的传记后人知道得很少．他大约生于公元前325年，我们不知道他生于何地，死于何时何地．

他的名字与几何学结下了不解之缘，因为他编写了部关于几何学的教科书《几何原本》．这本书，当然先后曾有些修改，但一直是几何学的权威著作，自从印刷术发明以来，前后共再版了一千次以上，他无疑是历来首屈一指的教科书编写者．

然而，作为一位数学家，欧几里得的名望倒不是在于他自己的研究工作．收入他的教科书中的定理，几乎没有一条是他自己发现的，欧几里得的贡献以及使他成为伟人的，是接受了直到他的

图12欧几里得象

①亚历山大大帝，马其顿国王，公元前356~323年，译者注．

②托勒密王朝，从公元前323年到公元前47年，前后经历十六代国王，译者注。

时代人类所积累的全部数学知识，并集其大成，编写成一本完整的著作，在编写这本书的时候，他推论了一系列公理、公设，并以此作为全书的起点，就其表达之简洁明了和文笔之优美流畅来说，这些公理和公设是足以令人赞美的．

除了几何学之外，他的教科书还论述了比和比例以及我们今天称之为数论的内容．他也曾把光线描绘成直线从而把光学作为几何学的一部分来加以研讨．

关于他的传说中有一条与托勒密国王有关．托勒密在学习几何时曾请教过欧几里得，问他能不能把他的证明搞得稍为简单易懂一些，欧几里得顶撞了国王，他说："在几何学中是没有皇上走的康庄大道的．"(几何无王者之道)

为了把这些图尽可能地全都画得工整准确，必须使用器械．我想，一旦你习惯于希腊人的思考方法之后，那就很自然地认为，为此目的而使用的器械愈少、愈简单，则所绘出的图形就愈接近于理想．

最后，作图的工具被减少到一个极妙的最小值2，其一是直尺，用于画直线，需要提醒的是，这并不是一把刻有英寸或厘米的尺子，这是一把没有刻度的木尺（金属或塑料亦可用于此种目的），除了用这器械画出直线这种形状外，不会再有更多的用处了．

第二件工具是圆规，它最简单的用途是画圆，也可以用于在直线上划出等分线段，或画出相交的弧来得到一个到其他两点等距离的点，等等．

假定读者大多学过平面几何，并曾使用过这些工具来作一条直线与一条直线相垂直、平分一个角、作一个三角形的外接圆等等，所有这些工作和其他无数工作都可以用直尺和圆规，经过一系列的有限的操作来完成．

当然，到了柏拉图（ Plato )①时代，已经知道可以用一些稍为复杂的工具来简化某些作图问题，实际情况是，有一些单凭直尺和圆规无法解决的作图问题到那时就可以解决了．这对希腊几何学家来说就跟用箭来射狐狸或蹲着的鸭子，或者用虫饵来钓鱼，或在解题时到书背后去找答案一样，这虽然是可以获得效果的，但这种做法并非属于君子风度．对几何作图来说，直尺和圆规是唯一"正当"的工具．

当时亦未感到，这种限于直尺和圆规的作图规定对几何学的限制不免过于苛刻，有时，墨守这些作图工具可能是令人厌烦乏味的，如果使用别的工具，也许会更易于走捷径；但当时曾这么断定，只要具有足够的耐心和聪明才智，仅用直尺和圆规也是能够完成这一切工作的．

比如，如果给出一个其长为定值的线段，令其表示数字1，则可以只用直尺和圆规作出另一条线段，使之恰好等于该长度的2倍，以此来表示数字2，或另一些线段表示3,5,500，或表示

等．事实上，只要使用圆规和直尺，就可以把任何有理数（即任何整数或分数）用几何的方法来加倍，你甚至可以使用一条简单的约定（可惜希腊人是从来不使用这种约定的），就可以用这种方法来表示所有正的和负的有理数．

一旦发现了无理数，即不能写成某种分数形式的数字，那么，看起来圆规和直尺便似乎无法表示无理数了，即使在这样的情况下，它们也不会对此束手无策．比如，2的平方根的值是1.414214…等等、等等，无穷继续下去，然而，你能不能作一条线段，使之等于另一条线段的

①柏拉图，古希腊哲学家，公元前427~347年，译者注。

1.414214…倍，而你在作的时候可能还根本不知道你想要画的这条线段精确地说来到底应当等于它的多少倍．

事实上，这是很简单的，设想有一条从 A 点到 B 点的已知线段（我想，可以不必画出图就可作好，但是如果你感到需要的话，你可以在读本文的时候自己把这些线段画一下，那不是很难的事），让这条线段 AB 表示1.

接着，通过 B 点作一条直线与 AB 垂直，现在你有了两条直线，构成一个直角，以两直线的交点 B 点为圆心，用圆规画一个圆，使该圆的圆周通过 A ．这个圆周即能与你刚才所作的那条垂线相交于一点，称之为 C ，由于大家都熟悉的圆的性质，线段 BC 与 AB 正好相等，也等于1.

最后，把 A 点与 C 点用第二条直线连接起来．

可由几何学证明这条直线 AC 的长正好等于 AB 或 BC 的√2倍，因此它表示无理数√2.

当然，不要以为只需用 AB 来度量 AC 就可以得出√2的一个精确值，由于这个图形是由一个不熟练的人，用不精确的工具来作出的，它仅仅是所表示的理想图形的粗糙的近似．由 AC 所表示的理想线段才是√2，而在实际的现实中， AC 本身并不表示√2.

用同样的方法，可以使用直尺和圆规来表示其他无数个无理数．

事实上，希腊人没有理由怀疑，任何可以想象得出的数字都能够由一条线段来表示，而这条线段可以仅仅用直尺和圆规，经过有限的步数作出，由于一切作图问题都可以归结为作出表示一定数字的一定线段，因此可以感觉到，用任何工具作出的任何图都能够只用直尺和圆规来作，有时，尺规作图的具体步骤可能难以捉摸，暂时无法发现；但希腊人觉得，只要具有足够的灵感、洞察力、智慧、直觉和运气，作图的方法最终总是能够发现的．

比如，希腊人一直没有研究出如何只用直尺和圆规来把一个圆周分为十七等分．然而，这是可以作出的．作图的方法直到1801年还没有发现，可是就在那一年，年仅二十四岁的德国数学家卡尔·弗列德里希·高斯（ Karl Friedrich Gauss ）找出了作图的方法，一俟他把圆周分成了十七等分，就可以用直尺把十七个等分点连接起来，从而构成具有十七条边的规则多边形（"正十七边形")．用同样的方法可以作出一个正257边形，以及其他无数个边数更多的多边形，可能作出的边数可以用一公式计算出来，但我不打算在这里介绍这条公式了．

卡尔·弗列德里希．高斯

高斯于1777年4月30日生于德国的不伦瑞克(Braunschweig),是个花匠的儿子．他在数学上是个神童，而且一辈子一直是一个奇才，他有超人的记忆力和惊人的心算能力．还在三岁的时候，他已经能纠正他父亲帐目中的错误．他的出类拔萃的能力为人所发现，由不伦瑞克的费迪南德(Ferdinand)公爵资助送去深造，1795年，高斯进了哥廷根（ Goltingen ）大学．

还在十多岁的时候，他已作出了许多卓越的发现，包括"最小二乘方法"，这个方法可仅以三个测点来确定一条最佳拟合曲线．还在大学读书的时候，他证明了一种正十七边形的作

图13高斯象

图方法，更重要的是，他还指出，什么样的多边形不能用这种方法来作，这是最早的关于数学的不可能性的证明．

1799年，高斯证明了代数学基本定理，即每一代数方程必具有一个复数形式的根，1801年他继续证明了算术基本定理，即每个自然数均可表示为素数乘积的形式，而且这种表示方式是唯一的．

这一切都需要高度的思想集中．有一个故事，说的是1807年他的妻子临终前，他正专心致志地埋头研究一个问题，有人告诉他说，他的妻子快咽气了，他抬起头来，低声地咕哝说："去跟她说，请她稍等一会儿．我马上就好了".

尽管个人的悲剧接连不断，但他灵敏的思想似乎永不枯竭．在六十二岁时，他自学俄语，他先后两个妻子都年纪轻轻就死去，他生过六个孩子，可只有一个死在他的后头．1855年2月23日，他在哥廷根逝世．

如果作一个象正正十七边形这样简单的图就可以把伟大的希腊几何学家难住，而结果被证明是一个完全可解的；那末，为什么任何可以想象得出的作图，不论看起来如何困难，不能最后被证明为可解的呢？

举个例来说，把希腊人难住的作图题之一是：给出一个已知圆，求作一个正方形，使其面积与该圆的面积相等．这个题称为"化圆为方"

有好几种方法可以解决这个问题．下面就是一种方法：用你手里最精确的测量工具，把圆的半径量一下．比如，就随口说说吧，如果半径恰好是一英寸长（这种方法可适用于任何长度的半径，那么为什么不尽量利用它的方便性呢？)，把那条半径平方，谢天谢地，因为1×1等于1，其值仍然为1．然后用你所能弄到的最佳的π值来乘它（当我又回到π的时候，你们不感到奇怪吗？)，如果你把π的值取为3.1415926，那末该圆的面积即为3.1415926平方英寸．

现在，取该值的平方根，其值为1.7224539英寸，用你的测量工具划出一条长度正好等于1.7724539英寸的线段．在线两端均作一条垂线，在两条垂线上均截取1.7724539英寸，然后把这两个点连接起来．

解出了！你现在得到了一个与已知圆面积相等的正方形了．当然，你可能感到不安，你的测量工具并非无限精确的，而你所使用的π的值也是一样，这难道不意味着与圆等积的正方形不过是近似而非精确的吗？

是的，但关键在于原则而不在于细节，我们可以假设测量工具是完美无缺的，而所用的π的值又是精确到无限数位小数．总之，假使以我们实际划出的线段来表示理想的线段，这实在是无可非议的，考虑到我们的直尺是完全准直的，我们的圆规所划的圆的起迄点也完全吻合，从原则上来说，我们确实是将圆完美无缺地化成了正方形．

可是，我们所使用的这件测量工具，却不是高尚雅致的几何学家所允许的仅有的两件工具之中的一件，那就证明了你不过是一个无赖和粗俗之流，你就得因此而被撵出这个俱乐部．

这儿还有一种化圆为方的办法．假设圆的半径为1，那么你真正需要的是另一条表示√π的线段．如果以这样的一条线段为边长来作一个正方形，则它的面积就正好同单位半径的圆的而积相等，那么，怎么得到这样的一条线段呢？好吧，如果你能够作出一条与半径长度的π倍相等的线段，那就有办法只使用直尺和圆规作出一条其长度与那条线段的平方根相等的线段，这样就表示了我们正在寻求的√π.

要得到一条等于半径π倍的线段倒是挺简单的．根据熟知的公式：圆周的长度等于半径乘π的两倍，因此我们想象一下，要是有一个圆停在一条直线上，并在圆周与直线相切的地方作上一个小的标记，然后慢慢地转动这个圆，使它沿着直线滚动（不能有所滑动），直到刚才所作的记号绕完一周后再次与直线相切为止，在再次相切线上作另一个记号．这样，你就把圆的周长在一条直线上截取下来了，这两个标记之间的距离恰好是π的两倍．

然后用平常的直尺和圆规的几何作图法把这条线段两等分，就可以得到一条等于π的线段，作那条线段的平方根，你就得到了√π.

作出啦！用这个方法事实上就把圆化成了正方形．

但是事情并非如此，恐怕你仍然得被撵出俱乐部，因为你用了一个上面标有记号的滚动圆，而这项工具又是直尺和圆规之外的另一种工具．

问题是，尽管有许多化圆为方的方法，但希腊人却无法找到只用直尺和圆规、经过有限的步数来解决这个问题的任何作图法．（他们耗费了不知多少时间来寻求一种方法．在回顾这个问题的时候，现在看来，似乎是一件毫意义的工作，但过去却并非如此，在他们的研究中，他们发现了各种各样新的曲线，象圆锥曲线，还有新的定理．它们的价值比化圆为方本身所可能具有的价值要远远高得多．)

尽管希腊人没能找到化圆为方的方法，但这项研究却不断地继续下去，人们不断地试了又试，试了又试…….

现在让我们把话题稍为转一转．

请考虑一个简单的方程，比如：2x-1=0．你可以发现，

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