我们都知道，等式y=kx+b是一个直线方程，但我们也可以说它表示y是x的一次函数。而在xoy平面内，作为方程的曲线和作为函数的图象都是一条直线。那么，方程与函数究竟有何差别呢？我们先从方程与函数的简单的发展过程谈起。

从数学史中我们知道，在古代很早就出现了代数方程。在我国公元前一世纪已有多元方程组、一元二次方程和不定方程等。

方程最初是人们用来从已知条件中求得一些未知量的。

函数的发展则较晚。在16世纪时，随着天文学、机械学、力学等的发展，对于物体运动的研究成了自然科学的中心问题，需要研究各种变化过程和各种量的变化以及各种量之间的依赖关系，于是就产生了变量和函数的概念，而从17世纪开始，笛卡儿直角坐标系的建立，使函数的概念，又获得了新的发展。

函数的概念是在方程的基础上发展起来的。我们引用马克思对函数一词所作的注释：

“‘函数(Funktion)’一词，最初是在处理方程个数少于其中出现的未知数个数的所谓不定方程时，引到代数中来的。这里，例如y的值的变化取决于人们譬如对x给予的数值3、4、5、等等。这里y就叫做x的函数，因为它必须服从x的命令，正像每个官员(Funktionär)，甚至伟大的威廉一世，也要依从某个人一样”。(摘自马克思《数学手稿》)

译注 两个单词均为德语。这里某个人可能是指当时德意志帝国的宰相俾斯麦，皇帝威廉一世一切都听从于他。

下面我们再介绍一下笛卡儿关于方程与函数关系的基本思想：如果我们有二元方程：

x²+y²=a²，

在代数中，把x和y理解为未知数，但是所给的方程并不能确定这两个未知数。而笛卡儿不把它们看作应该从方程解出来的未知数，却把它们看作变量，这时方程本身就表示这两种变量之间的依赖关系。

从这里我们可以知道方程与函数的历史渊源关系。但是这两者毕竟是两个不同的概念，它们都有各自的研究范畴。

从定义上看，方程是含有未知数的等式；函数的定义是：设在某变化过程中有两个变量 x和y，如果对于x在某一范围内的每一个值y都有唯一确定的值和它对应，那么，就把y叫做x的函数。并且把x称作自变量，y称作因变量。(这里的函数定义指的是初中代数中的单值函数。)

由定义可知，方程反映的是未知量与已知量之间的关系，而函数反映的是变量之间的关系。同一个等式，从方程的角度看，我们考虑的是x和y选取哪些值，才能使方程成立。其实所谓未知量，其本质也是一个常量，称之为不确定的常量，毫无变化的含义。从函数的角度看，我们注意的应该是x和y在各自的允许取值范围内，彼此是怎样互相联系的。

举例来说，设在地面上一点O发射一颗炮弹，经过一段时间以后，落到地面上的A点。建立平面直角坐标系以后(如图)，炮弹的轨迹就可以用方程

来表示，式中θ是炮弹发射角，V₀是炮弹发射速度，g是重力加速度。

说(1)式是个方程，是指轨迹上的任何一点的坐标都能满足方程(1)，此时我们关心的是炮弹在空中的运动规律，炮弹的轨迹是一条什么样的曲线，用怎样的解析式来表示。如果将(1)式看作是表示y随着x而变的函数关系，则我们关心的是x在什么范围内(即函数的定义域)y才有值，炮弹各在什么范围内上升和下降(即函数的升降性)，当x为何值时炮弹达到最高点(函数的极值)，等等。

函数和方程是相互紧密联系的，在一定条件下又是可以互相转化的。

还是以(1)为例，如果把它写成：

这是一个二元二次方程，但我们还可以说(2)式确定了变量x和y之间的函数关系。(1)式的y随自变量x而变的函数关系很明显，叫做显函数，而(2)式表示的函数关系不明显，x和y中可以任意决定其中之一为自变量，另一个变量就是因变量(函数)，所以叫做隐函数。

这就是说，方程和用解析式表示的函数具有相同的表现形式。因此我们往往用方程的知识去研究函数，也常常用函数的知识去研究方程。

例如(1)式作为一个二次函数，如果要求炮弹在某一高度时，y=K(K为一常量)时的炮弹的水平距离，则将y=K代入(1)之后就需要解一个一元二次方程。而我们在讨论一个一元二次方程ax²+bx+c=0的根时，又常常利用函数y=ax²+bx+c的图象在x轴上的截距来解释。

这里所讨论的当然仅限于能够用解析式来表示的函数。有些不能用解析式而只能用列表法或图象法表示的函数则不再此列。

选自《高中代数疑难解析》，河南教育出版社，1982年版。作者：项昭义，蔡云涛，郭锡洁，朱长龄，冯俊民，张顺芳。