1854年，黎曼在哥廷根大学演时引人了高维理论。欧几里得几何大厦终于被黎曼的“论几何基础中的假说”推翻了。在欧几里得几何中，所有的图形不是二维就是三维。黎曼几何对艺术和科学有着深远的意义。
在黎曼讲演后30年，“第四维”在欧洲影响着艺术、哲学和文学的进程。
在黎曼讲演后60年，爱因斯坦用四维黎曼几何解释了宇宙的创生及其演化。
在黎曼讲演后130年，物理学家们试图用十维几何来统一物理宇宙的所有定律。
超越欧几里得几何学欧儿里得几何学认为空间是三维的，而且这个三维空间是"平坦的"。（在平坦的空间，两点之间最短的距离是直线，这就忽略了空间能被弯曲的可能，如在球面上。）
实际上，在《圣经》之后，欧几里得的《几何原本》可能是最具影响力的书。根据它的原理，欧洲建立了好几千座精美的教堂。好多个世纪以来，它变成了某种神圣的东西；任何敢于提出弯曲空间和更高维数的人都会被贬为异教徒。然而，尽管尽了最大的努力，几个世纪来最聪明的数学头脑仍不能证明《原本》中貌似简单的命题。欧洲的数学家们开始意识到，《几何原本》是不完整的。如果进入弯曲表面的世界，欧儿里得几何学实际上是错误的。
对于黎曼而言，欧几里得几何学与丰富的世界多样性相比尤其显得贫瘠。自然界中没有什么地方能使我们看到平坦的、理想化的欧几里得几何图形。山脉、海浪、云彩和漩涡都不是完美的圆形、三角形和正方形，而是以无穷多样的方式表现出的弯弯扭扭的弯曲物体。
黎曼发现，欧几里得几何学归根到底是建立在常识和直观知识的基础上的，而不是建立在坚实的逻辑基础之上。
所有物理定律的统一高斯很早就有了“高维几何”的想法，他曾经向他的同事们说起假想完全生活在二维表面上的“书虫”，并想要把这推广到高维空间的几何学中去。然而，由于害怕受到保守派的迫害，高斯从来没有公开发表过关于高维几何理论的任何作品。高斯把希望寄托在了他的学生黎曼身上，让黎曼选择“几何基础”这一主题作为就职演讲。
黎曼花了好几个月时间发展高维理论，竭尽全力，甚至使身体状况恶化。期间，他还帮助韦伯研究电学。19世纪初，电现象是物理研究的焦点。特别是，一根通电导线经过指南针时能使后者偏转，这一发现吸引了物理学界的注意。相反，垂直于磁场运动的金属棒会在导线中感生出电流。对于黎曼而言，这个现象表明电和磁是同一种力的某种表现形式。黎曼被这个新的发现所鼓舞，深信他能对此给出一个数学解释，这个解释将把电和磁统一起来。
自从牛顿开始，科学家们认为力是两个远距离物体之间的瞬时相互作用。物理学家们称它为超距作用。
黎曼提出一种全新的物理绘景。像高斯的“书虫”一样，黎曼描绘了一个生活在一张纸上的二维动物种族。但是他作出的决定性突破，把这些书虫放在一张弄皱的纸上。"这些书虫们将会把它们的世界想象成什么呢？黎曼认为，他们仍会推断他们的世界是完全平坦的。因为他们的身体也将被弄皱，这些书虫们从没注意到它们的世界被扭曲了。然而，黎曼指出，如果这些书虫企图在这张皱纸上运动时，它们将觉得有一种神秘的看不见的“力”在阻止它们沿直线运动。每当它们的身体越过纸上的一道皱纹，它们都会被推得左右晃动。
这样，黎曼对牛顿力学作出了第一个重要突破。他排除了远距作用原理。对于黎曼而言，"力"是几何的结果。
接着，黎曼把我们生活的三维空间想象成四维空间中褶皱的纸。宇宙是弯曲的，当我们企图沿直线行走时，有些事情就会出差错。好像有一种看不见的力在拉扯着我们，让我们左摇右晃动。
黎曼推断，电、磁和引力皆由三维宇宙在看不见的第四维中起褶所致。因此，“力”本身并不存在，它只是几何畸变引起的结果。通过引进第四个空间维度，黎曼意外地发现自然规律在高维空间中表述时显得简单了，后来这成了现代理论物理学中的一个重要论题。然后，他就着手研究能够表述这种思想的数学语言。
黎曼度规张量∶时空的毕达哥拉斯定理当黎曼在1854年发表他的“几何基础”的演讲时，收到了非常好的反应。毫无疑问，这是数学史上最为重要的公开演讲。黎曼突破了统治数学2000多年的欧几里得几何学的演讲很快传遍了整个欧洲所有研究中心。他的讲演被翻译成好几种语言，且在数学家中产生了相当大的轰动。
像物理学和数学中的许多伟大著作一样，黎曼这篇伟大论文的核心思想并不难理解。黎曼从著名的毕达哥拉斯定理出发，
对于三维空间而言，这个定理很易于被推广，
把这个定理推广到 n 维也很简单。设想一个n维立方体，若a，b，c，…是这个“超立方体”的边长，且z是这个"超立方体"的对角线长度，则
显然，虽然我们头脑中不能想象出一个n维立方体，但是，却很容易写出关于它的边和对角线的关系的公式。
接着，黎曼把这些方程推广到任意维的空间。这些空间既可以是平坦的，也可以是弯曲的。如果是平坦的，那么欧几里得定理适用∶两点之间直线最短，平行线永不相交，三角形三内角之和等于180度。但是黎曼还发现，面可以具有“正曲率”，就像球面那样，这些面上的平行线总会相交，而且三角形的内角之和可以超过180度。面也可以有“负曲率”，如马鞍形的或喇叭形，三角形三内角之和小于180度。
黎曼的目标是从数学上引进一种能够描述所有表面的新客体。这必然促使他、引进法拉第的场的概念。黎曼的思想是在空间的每一点引进一组数，这组数将描述空间在这一点的弯曲程度。
例如，对于一个普通的二维表面，黎曼在每一点引进一组3个数，这个数组就完全描述了该表面的弯曲。黎曼发现，在四维空间，需要在每一点引进一组10个数来描述它的性质。无论这个空间被弄皱或扭曲成什么样子，在每一点的一组10个数足以表达该空间的所有信息。让我们用记号
来标记这10个数字（（当分析四维空间时，下标可以从1到4变化））这时，黎曼的10个数字可以用下图表示，
它看起来好像有16个分量。然而
如此等等。因此真正独立的分量只有10个。现在，这个数组被称为黎曼度规张量。粗略地讲，度规张量的值越大，纸的折皱程度也越大。度规张量给了我们一种测量纸面任何一点曲率的简单方法。
黎曼的度规张量使他建立了一种强有力的工具来描述具有任意曲率的任何维空间。他惊奇地发现，所有这些空间都能明确定义，而且也很自洽。
我们将看到，统一的秘密在于把黎曼度规扩展到 n 维空间，接着再把它拆成一些矩形块。每一个矩形块与一种不同的力相对应。用这种方法，通过把各种自然力安排成像拼图板块一样的度规张量，我们就能描述它们了。这是高维空间统一了自然规律这一原理的一种数学表述。这个原理也就是在n维空间中有“足够的余地”来统一它们。更准确地说，在黎曼度规中有“足够的余地”去统一自然界的力。
黎曼预见了物理学中的另一个发展。黎曼是首先讨论多连通空间的人。为了想象这一概念，拿两片纸并且把一片放在另一片的上面。在每一片纸上用剪刀剪一个短的切口，然后用胶水把这两张纸沿这两个切口粘贴起来。
黎曼切口，两张纸沿着一条线粘连起来。如果我们绕开切口走，我们就一直逗留在同一个空间。但是如果我们从切口通过，那么我们就从一张纸走到了另一张纸。这是一个多连通的面。
如果虫子生活在上面这片纸上，有一天它可能偶然进入切口，并发现自己到了下面那片纸上。由于每件事都不太对头，为此它困惑不解。经过更多的试验之后，虫子将发现它能重新进入切口，从而重新出现在它通常所在的世界中。如果它绕着切口走，那么它的世界看起来还是正常的。但是，当它企图通过切口走捷径，就会出现问题。
黎曼切口是一个虫洞的例子（只是该虫洞的长度为零），这个虫洞连接了两个空间。
黎曼的遗产总之，黎曼的工作不仅仅是给超维空间的数学理论打下了基础，而且远远超过了这些。回顾起来，我们看到黎曼讨论过现代物理中的一些主要课题。特别是∶
他用高维空间简化了自然规律；即对他而言，电磁以及引力仅仅是由超维空间的弯曲所引起的结果。
他讨论了虫洞的概念。黎曼切口是多连通空间的最简单的例子。
他把引力表述为场。由于度规张量（借助于曲率）描述了空间任一点的引力，当把度规张量用于引力时，它就是精确的法拉第场的概念。
黎曼所以不能完成他的关于力场的工作，是因为他不知道电磁以及引力所遵守的方程。换句话说，他不能精确地知道为了产生引力，宇宙将被怎样弯曲。在他死的时候，他仍然没有为描述各种力而必须使空间扭曲多少的计算方法。这些关键性的进展留给了麦克斯韦和爱因斯坦。
二维人杰出的科学家们开始向公众推广黎曼几何。亥姆霍兹可能是他同时代的人中最著名的德国物理学家，他深深地被黎曼的工作所影响。根据亥姆霍兹的说法，球面上那些推理能力与我们相似的生物将独立地发现，欧几里得的所有假设和定理都是不成立的。
当一些科学家正在探索高维的应用之时，另外一些科学家却在问一些更实际和平凡的问题，如二维生物怎么吃东西？如果我们现在画出二维人的消化道，我们注意到这个通道完全把它们的身体一分为二了。
如果他们吃东西，他们的身体就将分成两块。要么这些人像我们一样吃东西，他们的身体将分开；要么他们将遵守不同的生物学规律。
不幸的是，黎曼先进的数学超过了19世纪相对落后的物理认识。为了使物理学家赶上数学家，我们必须等待又一个世纪。但是这并没有阻碍19世纪科学家们无休止地猜测从第四维中出来的生物会像什么模样。不久，他们意识到这样一个第四维生物几乎具有如神灵般的能力。
我们是二维人的神我们再来考虑一下高斯设想的居住在二维桌面上的二维人。为了监禁一个罪犯，平面国人只需绕他画一个圆圈。不管罪犯向哪儿移动，他总是要碰到这个不可逾越的圆圈。然而，对于我们三维人而言，把这个罪犯从监狱中带出来却是一件很平常的事。我们只需抓起这个平面国人，把他从二维世界中拿出来，重新把他安置在他那个世界的其他地方。这种在三维世界中十分容易的事情，在二维世界中却显得奇妙无比，并且不可理解。
对于狱吏而言，囚犯突然从监狱中不见了，他消失得尤影无踪。接着正如刚才的消失那样，他突然又重新出现在别的地方。如果你对狱吏解释说囚犯被“向上”移动且离开了平面世界，狱吏将不理解你在说些什么。向上这个词在平面国人的词汇中是没有的，他也无法想象出这个概念。
观察平面国人，就会注意到我们神通广大。即使平面国人躲在房子里或者躲在地下，我们也能一目了然。他将认为我们的能力是魔术般地不可思议。然而，我们知道那并不是魔术在起作用，而只是一种更高级的透视。
汤圆巴扎黑
问题是，现实世界中不存在二维空间，平面再平，它也是有厚度的，哪怕是一个原子，它也是三维立体的。
不再有 回复 12-29 04:43
空间不会无边无际，如果空间跟物质不可分割那么从大爆炸出来的时空是有边界的！如果空间无边际，那空间物质不可能是一个整体
谜与美 回复 11-22 23:53
假如宇宙空间随处都存在并充满零体积的物质，用数学推理，所有0体积的物质叠加后体积仍为零！！所以宇宙中必然存在最小尺寸但不是零体积的物质！！！
夜读心经2017
数学是神的语言
东方猎人 回复 11-30 00:02
袖不用地球人的数学
沈阳市精神卫生您好主任 回复 东方猎人 04-09 16:25
地球人数学对于真理太低端[笑着哭]
谜与美
黎曼就是有病，难怪当今科学不从物理实在出发，用病人数学推理对物理想当然，不误入歧途才怪！！科学要发展，真的还要呼唤当代的法拉第与麦克斯韦，，，
龙大吟 回复 01-23 20:28
这么说吧，没有黎曼的流形空间和群论连你敲键盘手机芯片都造不出来。建议买一本黄昆的《固体物理》半导体部分，如果不拿流形建模的晶格空间点阵是否对称，反对称和超导性根本无从下手。
hhhlll79 回复 03-18 22:20
本想反驳你，后来觉得算了，不值得
小白脸
而我，企图比黎曼站的更高——用逆矩阵和群的思路认识鬼神所在的空间。
likai海纳百川 回复 01-21 22:00
的确比黎曼的“第四维癔想症空间”更高一级，黎曼空间只能到达精神病空间，而你却到达了鬼神空间！
泉山spring
维度将物理学引向无法验证的虚无！任何不可实验验证的理论都不能作为物理学理论，至多是一假说，并不能成为真正的科学理论。
likai海纳百川 回复 01-21 21:40
空间本无维，庸人自扰之！
用户38xxx61 回复 02-04 08:34
关键能实验验证的也是假说。物理学就是假说学，谁的假说能解释的物理现象多，就是好理论
海王星永久居民
假设真有二维生物，关键点不在所谓的高度或者厚度，而是二维生物的“空间方向感”。不管这种生物他有多高，只玩他没有上下的方向感，而只有前后左右的方向感，他就是二维生物。一维生物只有一条线上两个方向感。二维生物同时拥有一个平面上的四个方向感。三维的拥有立体方向6个方向感。这个方向感和生物的高度和厚度没有关系。厚度只是我们站在三维角度给的一个概念。
lion 回复 11-28 19:53
几个方向是人为划分的。不同方法可以划出不同数量的方向。
韦荣鹄
还不如古代中国人的算术利害。中国在12000--15000年前已经知道宇宙的构造，用手指一算就知道咱们这个三维空间什么回事了。[捂脸哭][捂脸哭][捂脸哭]
中雨 回复 02-05 23:06
15000年前的中国人又称山顶洞人
韦荣鹄 回复 中雨 02-06 00:31
你的认识太落后，还山拍洞人。[捂脸哭][捂脸哭][捂脸哭]那是什么年代的人？
zhiang
不论多少维空间放进x轴y轴z轴组成的的三维空间坐标内，都能找到其中的任何一个点的坐标位置...
zhiang 回复 11-21 13:58
你是纸人吗？纸张也有厚度的
在槲寄生下 回复 11-21 12:29
不懂咱们就不装了吧，能用三维空间坐标弄出来的就还是三维空间内的东西。就像你在纸上画了一个三维坐标轴，实际它就是二维的三根线交于同一点。立体感是脑子补出来的。
再会不会
黎曼切口，意思就是如果看到一堵墙，你撞上去，就进入了另外一个空间，这个空间叫黄泉
飞天大狗 回复 01-15 20:12
雅典娜，叹息之墙[笑着哭]
一叶知秋
量子纠缠现象已经证明多维空间存在
包子
平面的旋转和拉伸，从一个二维矢量可以变成平面上任意一个二维矢量。只需要一个二维旋转矩阵就可以完成这种变换。
我净常乐
有物理意义的数学都很好理解。。
蒲公英的约定
又在吃泡面吗[？？？][大笑]？
守望者
数学家是凡人心中的神，尤其佩服印度的拉什努金，愿有来生[点赞]
歇马
不是很能理解这里大神的高论。非常喜欢这里的氛围。挺长见识的。
黯然
数学很神奇，也高深，我勉强大学学完高数就完事儿了，再深点我知道我学不了，也进入不了，天赋决定的。
泉山spring
人类无法观察空间弯曲的，因为人类处于弯曲的空间，它的参照系就是弯曲的空间。
大diǎo的自信 回复 07-15 04:32
然而还是被人类观察到了[得瑟]，而且早100年前的时候，气不气人？
小光 回复 02-15 17:10
引力透镜
用户50xxx48
数学欧拉最牛
小光 回复 02-15 17:12
我觉得是达芬奇
枫叶随雨
欧几里得在圣经之前把
Ydccaep
自然绝对诚实，创造了人类，给了人类无穷的机会，是人类唯一的生存依靠。敬畏自然的绝对诚实，带来了人类科学。。。………悖论斯坦蔑视自然，创造反公理假说，大搞虚幻，意欲何为？？？狗都知道真假敬畏自然，难道有些人不如狗吗？………数学演绎必须从公理出发，才可能有意义有效。由创造反自然公理假说悖论演绎出的狗屎场方程狗屎核弹方程，必然是骗是祸。
赵Zxx-l
简易明了，列举通俗，一篇带凡人二三维入四维科普好得非常。
不流命
黎曼忽悠了爱因斯坦，然后爱因斯坦搞出了相对论，让科学走了弯路，偏离了牛顿力学，偏离了科学大道。
无尘 回复 01-30 02:58
说得对！
likai海纳百川 回复 03-27 19:12
简单点说，牛顿的“经典力学”无法解释“物质”的存在，所以人类的物理学停顿了。可以确定以及肯定，“经典力学”的理论方向是正确的，但人类已经没有能力继续走下去！所谓：自知者明，知宇宙者智。
用户79xxx05
胡扯蛋。数学落后物理学三十年还差不多，很多物理学家列出的微分方程组数学家都解不了。所以现在才会出现计算物理，用电子计算机求近似解。
小光 回复 02-15 17:15
那是混沌理论，只能求近似的数值解
蒲公英的约定
[呲牙笑][呲牙笑][大笑]
初吻给了香烟
爱因斯坦得好好感谢黎曼，没有黎曼的数学，广相也无从谈起
庸人自扰
黎曼在哥廷根大学演时引人了高维理论……
时之沙 回复 小光 01-24 00:24
他老师高斯
小光 回复 02-15 17:13
黎曼之前应该有人就意识到高维空间
造东西卖钱1296
升维需要能量。
用户10xxx34
联想到三体，脑洞大开的前提就是数学物理学基础得扎实啊[笑着哭]
yuanxing
孙悟空应该可以去二维空间和思维空间里生存[呲牙笑][呲牙笑][呲牙笑]
嗯。
我终于不再一脸懵逼的进来，一脸懵逼的离开，看懂了一部分，谢谢小编[点赞]
我提供能量反应
有多少种意识反应=有多少种时空维度
真理永远在探索的路上哈哈
无知，胡扯
用户12xxx07
空间的壁垒，就是宇宙的最原始基础规律，掌握了就等于可以操纵宇宙了。再过几万年吧，但是人类能不能撑到那个时候都不好说。
元道
好文章[点赞][点赞][点赞][点赞][呲牙笑][呲牙笑][呲牙笑][呲牙笑]
夜灵紫小水晶
假如你是字典的第501页里的一个字，你长着眼睛但只能看向前后左右一圈，无法上下抬头低头，你的世界就只有一圈，因为你生活在二维世界里而且自己也是个二维体，你没有厚度。你只能看一堆点，一堆线段。某天，你看到一个线段很奇怪，自己怎么都穿不过去。其实你永远都不会知道，那是一根箭穿透了字典，不仅不会知道，而且无法理解，无法想象，无法勾勒，更不会看到这只箭。天空中有几个红点，用所以的函数图像都连不起来，但你不知道，他可能是一条跨越多重空间的虚数函数图像在你这个空间留下的点，虚数方程组的解，是一个布满空腔的立体几何，里面的空腔都是它的解。[得瑟]
夜灵紫小水晶
我是人教教主
月下vampire
[得瑟]俄罗斯和美国商讨在中国领土上杀中国人？你们挺有意思啊
梦飞
神应该算是四维生物。
村里买了直升机
啥玩意？数学领先物理？？[笑着哭][笑着哭][笑着哭]电动汽车领先无人飞机吗？还是无人飞机领先前列骆驼？[笑着哭][笑着哭][笑着哭]
圣魔
0本身就是一个单位，也拥有质量。
12345
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停不下来
根据黎曼几何，穿越竟然是可能存在的
夜灵紫小水晶
宇宙本身没有维度，维度只是一个人类意识上的概念性存在。
谜与美
假如宇宙空间随处都存在并充满零体积的物质，用数学推理，所有0体积的物质叠加后体积仍为零！！所以宇宙中必然存在最小尺寸但不是零体积的物质！！！所以没有厚度的一维、二维的数学几何只能当辅助工具而不是物理实在，黎曼在一维、二维基础上发展除三维之外的什么十多维或n维，实则是有病，，，
美之美造型
绝对空间是不存在的。只有相对的空间。从物质和空间之间的关系可以知道，没有物质就没有空间。空间是相对物质而言的。所以说，所有的空间都是物质的空间。也就是相对的空间。空间相对空间，就是物质相对物质。
暮雪千山
感觉文章没完啊
蒲公英的约定
只有他两个搞所以这方面比较薄弱[？？？]
道法自然
最关键的是那句话，力是时空的弯曲效应，把力的本质点透了。
Jgxfgv
一维立体化成为二维，把二维立体化就成了三维，三维立体化就是四维
小光
网上有个非常通俗易懂的视频一看就明白高维空间，好像是（教你认识四维）（教你认识三维），国外的不知道现在还有没有
欧阳锋
这篇文章看过多遍，锻炼思维。
Silence℡
作者发稿前，请认真审稿
理中客
[点赞][点赞][点赞]
无尘
搞那么复杂有意义吗
robin
讲的好
糊涂虫
黎曼有没有错不知道，但是小编的描述肯定是错的。
用户71xxx89
人自身才是人类最大障碍。
海纳百川
二维动物的消化道口腔和肛门是二合一的，不会把动物分割成两块[得瑟]
才才
宇宙是无限维度的，但维度的意义人类现在还没有完全搞懂。人的感知系统和大脑运作结构不能理解四维以上空间，所以要想真正了解宇宙，得想办法突破这种感知系统
咕噜咕噜
太深奥了，真佩服那些物理学家和数学家[点赞]
小光 回复 02-15 17:17
从感知上理解高维不难
我手机也能打字
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冰雹
人类就是宇宙中的一个病毒吧，却想认识整个宇宙[得瑟]
虹伊呢
數學上多個維度就是個數學公式。物理學就麻煩要死，要麽找到空間物質（介質），要麽設計實驗，分離各個維度，證明確實有這麽個維度。
用户12xxx98
请证明四维的存在
用户15xxx11
没有障碍，是人类太蠢
灵溪子鱼
三体里面的二维箔现象。
天道无极
[得瑟]虚拟的东西都算领先的话，玄幻小说领先世界物理一亿年
反转
很有意思
Ydccaep
相对速度是自然公理，是绝对真理。为什么悖论斯坦要用光速不变假说祸害自然真理，欺师灭祖？？？还造谣说真理是相对的，蔑视自然和它的绝对诚实？？？
Ydccaep
引力是空间弯曲？？？空间对质量有力的作用？？？空间还知道质量的大小(穿越时间有变化)？？？有作用力和反作用力？空间不可入吗？？？没见过鬼，只见装鬼。👻两个质点靠在一起，质量引力的作用力和反作用力，空间往哪个方向弯呢？骗子知道吗？
Ydccaep
没有物理公理，哪里会有依靠物理公理的数学？
星浪
数学和物理的统一，这怕是个终极追求，没有尽头