英文题目： A novel time-optimal feedrate planning method for robots with contour error constraints
中文题目： 一种考虑轮廓误差约束的机器人时间最优进给速度规划方法
作者： Qi Qi, Jixiang Yang, Wenhao Li, Han Ding
作者单位： 华中科技大学机械科学与工程学院，智能制造装备与技术全国重点实验室
期刊：Mechanism and Machine Theory（IF 5.2，中科院一区，JCR Q1）
发表时间： 2025年10月21日
链接： https://doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2025.106227
引文格式： Qi Q., Yang J., Li W., Ding H. A novel time-optimal feedrate planning method for robots with contour error constraints[J]. Mechanism and Machine Theory, 2025, 217: 106227.
01 全文速览
很多机器人轨迹规划方法，核心目标都很直接：在速度、加速度、加加速度、关节力矩这些约束下，把机器人跑得尽可能快。
但工程上真正棘手的问题是：机器人“跑得快”并不等于“轮廓跟得准”。控制环节带来的关节跟踪误差，会通过运动学映射到末端，最后表现为加工、焊接、切割时最要命的那件事——轮廓误差。而已有很多方法，更多管的是“驱动能力边界”，没有把“轨迹精度边界”真正纳入进给规划。
这篇论文做的事情很值得机器人控制圈认真看一眼：
它不是在运动结束后再去补误差，也不是简单粗暴地把整条轨迹降速，而是直接把轮廓误差预测模型嵌进时间最优进给速度规划里，把“又快又准”放进同一个优化框架。
核心亮点：
✅将轮廓误差直接纳入机器人时间最优进给速度规划。不再只追求“跑得快”，而是把末端轮廓精度作为规划阶段的硬约束一并优化。
✅建立了“关节跟踪误差—末端轮廓误差”的线性预测模型。基于跟踪误差模型和 Frenet 标架，实现了轮廓误差的离线预测，为误差约束规划提供了基础。
✅提出缩放估计线性化方法，解决复杂非线性约束难处理的问题。将 jerk、关节力矩和轮廓误差等非线性约束统一转化为更易求解的线性形式，降低了规划难度。
✅提出两步线性规划策略，在保证精度的同时进一步提升运动效率。先求中间解，再二次优化，更充分利用约束容限；实验表明其效率优于已有方法，也优于单纯靠限速保精度的策略。
更关键的是，论文不是停留在仿真层面，而是在 UR10 机器人上做了实验验证。结果表明，这一方法不仅能让轮廓误差明显下降，而且相对“单纯限速保精度”的办法，还能把效率再往上拽一截。对做机器人加工、焊接、喷涂、打磨、跟踪控制和轨迹规划的人来说，这篇文章有很强的参考价值。
图1：轮廓误差约束下的进给速度规划方法综述。
02 研究内容
2.1 这篇文章到底在解决什么问题？
机器人轨迹规划里，时间最优的经典目标可以写成：
其中，v 是沿路径弧长l 的进给速度。这个目标本身不复杂，难的是约束很多：末端有速度、加速度、jerk 约束，关节侧有速度、加速度、jerk、力矩约束，现在作者又额外引入了位置轮廓误差和姿态轮廓误差约束。于是问题一下子变成了一个典型的高维、非凸、非线性优化问题。
作者指出，过去很多工作已经会管关节跟踪误差，但对于 6 自由度串联机器人来说，真正影响加工/作业质量的，往往不是单轴误差本身，而是末端相对于目标轮廓的综合偏差。这也是为什么“只看驱动边界”的进给规划，在高精度作业里经常不够用。
2.2 论文的核心思路：先把误差“看见”，再把它“管起来”
作者先从控制回路出发，建立了关节跟踪误差预测模型。其基本思想是：
关节误差由两部分组成，一部分来自参考输入，一部分来自外载荷扰动；两者都可以通过低频展开后写成与关节速度、加速度、jerk，以及载荷力矩导数相关的三阶近似模型。论文最终把关节跟踪误差写成了一个三阶预测形式，这一步的意义在于：误差不再只是实验后验量，而变成了规划阶段可计算、可约束的量。
接下来，作者再通过雅可比矩阵，把关节误差映射到末端位姿误差；然后借助轨迹的 Frenet 标架，把末端误差投影到轮廓法向方向上，于是得到位置和姿态轮廓误差的预测表达。论文中给出的关键形式可以概括为：
这一步很漂亮，因为它把原来比较“几何”的轮廓误差，转成了更适合进入优化约束的表达。
图2 机器人跟踪误差图:(a)各关节控制框图；(b)跟踪误差和轮廓误差之间的关系。
如图2所示，作者不是把轮廓误差当成黑箱，而是从关节控制误差如何一步步传到末端轮廓这个链条来建模。
图3：进给速度规划中轮廓误差预测模型的流程图。
如图3所示，轮廓误差预测模型已经被嵌入到进给规划流程内部，而不是放在规划之外做事后分析。
2.3 真正聪明的地方：把“速度”换成“速度平方”
如果直接拿
也就是说，作者不用速度本身建模，而是用速度平方的B-spline曲线来表示进给规律，优化变量变成一组控制点 f_i。这样做的好处有两个：
第一，目标函数更容易转成线性形式；
第二，B-spline 的导数仍然可以用控制点线性表示，后续构造约束会方便很多。
论文把原本“最小时间”的目标，转成了“让检查点上的 (Y(u)) 总和尽量大”，从而把问题推进到线性规划可处理的方向上。这个思路本质上是在说：速度平方比速度本身更适合作为进给规划的优化载体。
2.4 两步线性规划，到底妙在哪？
真正麻烦的地方在于，jerk 约束、关节力矩约束、轮廓误差约束里，都还残留着
第1步LP：先在“不含中间变量”的约束下，求出一个中间伪速度曲线
第2步LP：再以
这背后的控制/优化直觉非常明确：
先求一个“靠谱但不激进”的解，再围绕它做局部尺度估计，尽量把约束容限吃满。相比那种一次性线性化，这种两步法更容易减少保守性，也更能把 jerk 和误差容限真正用起来。
2.5 这篇论文的“算法伪代码”，可以怎么理解？
论文 Algorithm 1 的核心流程，其实可以压缩成下面这版：
输入：离散路径点、末端约束、关节约束、轮廓误差约束
输出：机器人插补关节命令q(l(t))
Step 1计算路径总弧长，构造速度平方B-spline曲线
Step 2在各检查点计算Frenet标架、逆运动学、动力学量
Step 3第一次LP：仅考虑基础线性约束，得到中间曲线Y(u)
Step 4用Y(u)对sqrt(Y)、1/sqrt(Y)等非线性项做局部缩放线性化
Step 5第二次LP：加入jerk、力矩、轮廓误差等约束，求最终Y(u)
Step 6将Y(u)离散成插补指令，输出关节轨迹
如果用一句话概括，这个算法不是“硬求最优”，而是先建一个足够好的近似支点，再在支点附近把复杂约束吃得更充分。这也是它能同时兼顾速度和精度的关键。
图4 扩展策略示意图。
如图4所示，作者用局部缩放策略处理
2.6 实验怎么做的？可信度怎么样？
作者在 UR10 机器人 上完成验证，负载为 3 kg，重复定位精度为 ±0.1 mm，插补周期 8 ms，并通过 RTDE 接口执行关节插补命令。为保证跟踪性能，实验里控制参数设置为 look-ahead time 0.03 s、proportional gain 1000。这个实验条件对做工业机器人控制的人来说，是比较有现实感的。
在正式对比实验之前，作者先做了误差模型辨识和验证。结果显示，轮廓误差预测的 MAE 为 0.096 mm / 0.209 mrad，RMSE 为 0.126 mm / 0.293 mrad。这意味着：虽然模型不可能完美，但已经足以支持“把轮廓误差写进规划约束”这件事。
图5： 轮廓误差预测的结果。
如图5所示，预测值和实际轮廓误差总体吻合，这为后续“误差约束型进给规划”提供了基础。
2.7 最值得看的结果：效率和精度，真的没再被迫二选一
（1）Butterfly 轨迹：先证明它真的更会“跑”
在 butterfly 轨迹上，作者先把所提方法和两种已有规划方法对比。结果是：
所提方法平均进给速度173.064 mm/s，运动时间12.224 s；
而1step-LP为115.429 mm/s、18.328 s；
JTOPP-BS为161.147 mm/s、13.128 s。
论文据此给出的结论是：相较两类传统方法，所提方法在这一实验轨迹上的运动效率提升了 33.30% 和 6.89%。
这说明两步 LP 不是“形式上更复杂”，而是真把约束容限利用率做上去了。尤其对那些 jerk 受限、力矩受限的高速轨迹任务，这种差别是有工程意义的。
（2）Butterfly 轨迹：再证明它不是靠“盲目降速”换精度
论文设置了三组对比：
Group 1 是所提方法；
Group 2 不考虑轮廓误差约束；
Group 3 则采用“把最大进给速度直接降下来”的传统保守策略。
结果很有说服力。相对不考虑轮廓误差约束的 Group 2，所提方法把最大/平均位置轮廓误差从 1.659/0.370 mm 降到 0.719/0.219 mm，把最大/平均姿态轮廓误差从 6.052/0.877 mrad 降到 1.795/0.449 mrad，对应降幅分别达到 56.67% / 40.81% 和 70.34% / 48.80%。当然，代价是运动效率相对 Group 2 有 40.77% 的下降。
但更关键的是，相比 Group 3 那种“靠硬限速保精度”的办法，所提方法在满足误差要求的前提下，效率还能提升 32.10%。这就说明它不是单纯慢下来，而是更聪明地慢、在该慢的地方慢。
图6：沿弧长的进给速度、加速度和加加速度的规划结果。(第1组:提出的方法，第2组:没有轮廓误差约束的进给率优化，第3组:限制最大进给率以满足轮廓误差约束)。
图7：位置轮廓误差的结果:(a)仿真结果；(b)实际结果。
图8 ：定向轮廓误差的结果:(a)模拟结果；(b)实际结果。
如图6—图8所示，所提方法并不是全局压低速度，而是在误差敏感区主动收敛，在其他区段尽量保留效率。
（3）Blade 轨迹：进一步证明“位置+姿态”误差都能管
在 blade 轨迹实验中，论文进一步验证了位置轮廓误差和姿态轮廓误差同时受限时，方法仍然成立。相对不考虑轮廓误差约束的 Group 2，所提方法把最大/平均位置轮廓误差从0.426/0.144 mm降到0.255/0.084 mm，降幅40.14% / 41.67%；把最大/平均姿态轮廓误差从3.769/0.973 mrad降到1.786/0.564 mrad，降幅52.61% / 42.03%。与此同时，运动效率仅下降 33.64%。
更有意思的是，相比简单降低最大进给速度的 Group 3，所提方法在满足轮廓误差约束的条件下，运动效率提升了59.08%。这一点其实非常关键：
它说明这套方法不是“高精度下还能勉强跑”，而是已经展现出一种很明确的趋势——把精度约束转化为规划内部可计算约束之后，机器人就有机会从“保守控速”走向“精准调速”。
图9：叶片类型轨迹:(a)叶片模型；(B)由B样条拟合的轨迹。
图10：叶片轨迹的规划结果。(第1组:提出的方法，第2组:没有轮廓误差约束的进给率优化，第3组:限制最大进给率以满足轮廓误差约束)。
图11：位置轮廓误差的结果:(a)仿真结果；(b)实际结果。
图12 ：定向轮廓误差的结果:(a)模拟结果；(b)实际结果。
如图9—图12所示，blade 轨迹进一步验证了该方法对复杂位姿轮廓的适用性，尤其是姿态误差约束不再只是“附带考虑”。
03 创新点
这篇论文真正有价值的创新，我觉得可以概括成 4 点。
第一，它把“轮廓误差”从结果评价指标，变成了规划约束本身。
这是一个很重要的视角变化。过去很多方法是先规划、再看误差、再补偿；这篇文章则是在规划阶段就让误差进场。对机器人控制来说，这一步意味着规划层和控制层开始真正耦合。
第二，它把关节误差—末端误差—轮廓误差这条链条打通了。
作者不是凭经验调一个“安全进给速度”，而是从控制回路、载荷扰动、雅可比映射、Frenet 标架一路推下来，最后得到可用于优化的误差表达。这个框架非常像“面向精度的进给规划”。
第三，它提出了一个很实用的两步 LP 机制。
第一步先找中间解，第二步围绕中间解做局部缩放估计，减少了直接线性化的保守性。这一点在工程优化里很有味道：不是只追求“能解”，而是追求“解得不太亏”。
第四，它把“速度规划”和“控制精度”真正放在了同一张桌子上。
从机器人与控制的视角看，这篇文章最值得讨论的，不只是一个新算法，而是一种方法论：
高性能运动，不应该只由运动学和动力学边界定义，也应该由闭环跟踪精度来共同定义。
04 总结与展望
这篇论文最打动人的地方，不在于它把线性规划又做复杂了一点，而在于它抓住了机器人高精度运动里一个长期存在、但常常被割裂处理的问题：
速度规划归规划，轮廓精度归精度。
作者做的是把这两件事重新接上。
如果你做的是机器人加工、打磨、焊接、喷涂、跟踪控制，或者更一般的高精度轨迹执行，这篇文章会给你一个很清楚的启发：
未来真正有竞争力的轨迹规划，恐怕不只是“满足约束的最快”，而是考虑控制误差传播后的最快。这两者，看起来只差几个字，实际上是两种完全不同的系统观。
未来研究将聚焦于以下几个方向：
🔸 提高轮廓误差模型中非线性项的预测精度。
这是论文作者明确提出的下一步工作，因为实验中轮廓误差仍会受到摩擦、温度等时变因素影响，导致约束存在轻微超差。
🔸 增强对时变扰动和模型不确定性的鲁棒性。
这一点是从论文结果自然延伸出来的判断。既然误差预测受摩擦、温度、载荷变化影响，那么后续很值得和自适应/鲁棒控制、扰动观测器或学习型误差补偿进一步结合。这个方向是基于论文实验现象做出的技术延伸判断。
🔸推进到更强实时性和更广场景的在线应用。
论文当前已经说明该方法可适配不同机器人，只要引入相应的运动学与动力学模型即可。下一步很自然会走向更复杂工艺轨迹、更高维约束和更强实时性的在线规划部署。这里同样属于基于论文框架的合理延展。
在机器人高精度作业里，“轮廓误差约束前置到轨迹规划层”，会不会成为下一阶段机器人运动控制的一个主流方向？欢迎在留言区聊聊你的看法。
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