2015年，两位数学家马利阿里斯（Malliaris）和希拉（Shelah）发表了一篇60页的论文，在两个截然不同的领域建立连接并解决了两个长期存在的开放性问题：一个是模型论问题；另一个是关于连续统基数不变量的最古老问题之一，即p=t。

让我们试着理解马利阿里斯和希拉证明了什么，以及为什么这很重要。我们需要考虑两个无穷集。其中一个很熟悉：自然数集，

另一个是：

它是由所有可能的自然数集合形成的，一些自然数的集合是：

偶数集：{0，2，4，6，…}

质数集：{2，3，5，7，11，13，…}

大于古戈尔普勒克斯的数的集合

古戈尔普勒克斯（googolplex），是10的古戈尔次方，而古戈尔则是10的100次方。

集合{2，3，5，1729}

空集

N本身，即自然数集。

以上的所有集合，以及其他任何自然数的集合，都是S中的元素。因此S是集合的集合，7不是S中的元素，但是{7}是。S是一个非常大的集合，不仅是无限集，而且比自然数集N大得多得多。我们没有办法把自然数集中的元素与S中的元素一一匹配（一一对应）。我们说N是可数集，而S是不可数集。事实上，S具有连续统的基数（cardinality of the continuum），因为S可以和实数一一对应（连续统的基数是实数集合的基数或“大小”）。自然数基数的符号是：

连续统的基数，或实数的基数是：

所以，

在集合论中，连续统（Continuum hypothesis）是一个由康托于19世纪提出的假设，它涉及到集合论中不可数集合的基本性质。连续统假设可以被描述为：不存在大小介于可数集合和整个实数集之间的集合。

现在我们有两个无限的基数，我们想知道是否有介于两者之间的东西。是否存在集合X既不能与S一一对应也不能与N一一对应？这就是著名的连续统假设。

具体来说，可数集合指的是可以一一对应于自然数集合的集合，例如正整数集合、有理数集合等。而实数集合则是一个无限的、不可数的集合，其中包含了所有的实数。连续统假设表明，不存在大小介于这两个集合之间的集合。换句话说，实数集合的大小是最小的不可数集合，任何介于可数集合和实数集合之间的集合都不存在。

让我们来看看定义这种集合的一些方法，并探讨一下他们的大小。

从现在开始，每当我说“集合”时，我指的是一个自然数集；每当我说“集合族”时，我指的是自然数集合的集合。集以自然数为元素，而族以自然数的集合为元素。N是一个集合，S是一个族。这里还有一些例子。

假设有一个集合族，其中每两个集合都是不相交的（它们没有共同的元素）。这样的族能有多大？它可以是无限的。很明显，这个集合也是可数的，它很容易与自然数一一对应。所以它是无限大的，但还没有大到大于N。

我们能不能想出一个这样一个不相交的集合族，它不能与N一一对应？答案是否定的。任何这样的族都是可数的。

注意，我们没有观察某个特定的集合族，并想知道它是否具有中等大小。相反，我们定义了这种族的某种性质（不相交的），然后我们询问这样的族的最大值是否既不可数又小于

还有一个更有趣的挑战。假设两个集合（几乎）是不相交的，即它们只有有限个相同的数。例如，质数集与偶数集几乎不相交，它们只有一个共同的元素2。同样，大于1000的数集与小于万亿的数集几乎是不相交的。

现在，如果集合族中的任意两个集合几乎不相交，那么族可以有多大？

一个简单的想法是考虑所有有限集的族。这似乎是一个相当大的族，当然它的任何两个成员几乎是不相交的（因为它们都是有限的）。这个族有多大？，再一次，它仅仅是可数的。

再进一步！

有一个集合族C，其中C中的任意两个集合几乎是不相交的，而且C是不可数的。这个C族实际上是如此之大，以至于它具有连续统的基数（与实数集的元素一样多）。所以再一次地，几乎不相交集合的最大族不具有中间基数。

找到这样一个集合C是一个很好的练习。

最后，让我们考虑集合族的另一个性质。如果我从集合族中选取任意两个集合，其中一个包含在另一个中，这样的族被称为链或塔，它可以有多大？例如，我们可以考虑下面的集合族：{所有的自然数，所有大于0的自然数，所有大于1的自然数，所有大于2的自然数，……}。这是一个无穷集合族，很明显，如果你选择其中的任何两个，你会发现其中一个包含在另一个中。这个族有多大？我可以告诉你，它是可数的。

但是，我们能找到一个具有连续统基数的“链”吗？这个留个读者思考。

在康托提出连续统假设和保罗·科恩伟大的独立证明之间的日子里，人们提出了各种各样的奇特的族。有时这些族的基数是

有时是

有时我们无法判断。有时可以证明它们之间的相对关系，比如“这个基数并不比那个基数大，尽管它们可能相等。这就产生了下面的图：

这张图截自沃恩（Vaughan）的论文：小的不可数基数和拓扑（Small uncountable cardinals and topology）

图片中的N_1（实际上不是N，而是读作Aleph）表示比N_0大的基数，康托的连续统假设等价于：

上图中的所有基数c、a、i、u、p等都是不可数基数，这意味着它们都比N_0大，至少和N_1一样大。N_1是最小的不可数基数，它可能等于实数的基数：

也可能不等于，这需要证明。

在保罗·科恩（Paul Cohen）发明“强迫（forcing）”技术之后的日子里，人们开始用“强迫”来表明那些问题是不可回答的，也就是说，某些集合的宇宙提供一个答案，而其他集合宇宙提供另一个答案。例如，Shelah在2004年证明了，

ZFC代表Zermelo-Fraenkel集合论，是一种公理化集合论的基础。它由Ernst Zermelo和Abraham Fraenkel在20世纪初提出，旨在通过一组公理来确立数学中集合的基本概念和性质。

ZFC公理系统包括九条公理，它们定义了集合、子集、无穷、选择公理等概念，并规定了集合运算的规则。这些公理形成了一种系统，使得可以进行严谨的集合论证明。

ZFC集合论是现代数学的基础之一，被广泛应用于数学的各个领域，如数学分析、代数学、拓扑学等。它不仅为数学提供了一个统一的框架，而且也为计算机科学和理论物理学等其他学科提供了基础。

但其中一些基数拒绝做以下任何努力:表明它们必须是相同的，表明它们必须是不同的，表明这些问题独立于ZFC，等等。事实上，人们对许多基数人一无所知。

Malliaris和Shelah出乎意料地成功解决了上图中基数p和t的问题，现在我们终于可以对它们进行解释了。

我们之前介绍了几乎不相交集合族。我们可以用其他方式扩展这个“几乎”的概念：例如，我们可以说集合A“几乎被包含”于集合B中，如果A的每个成员（除了可能有有限多个例外）都是B的成员。例如，数列1，2，4，8，16，…几乎被包含于偶数集合中，质数几乎被包含于与6互质的数集合中。

如果一个集合族中包含一个无限集合，且几乎所有该族的成员集合都包含这个无限集合，那么我们称这个集合族具有一个线索（thread）。例如，以质数集合为线索，想象一个集合族，其中几乎所有的成员集合都包含了所有的质数（可能会漏掉一些有限的质数），以及其他各种数字。这样的一个集合族将拥有质数作为线索。如果一个集合族没有线索，则称之为线索缺失（threadless）。

现在考虑无穷集合的无穷族的下列性质：

性质 P：该集合族没有交集为空的集合，但无论你从该集合族中取出有限个集合，这些集合的交集都是无限的。

性质T：该集合族是线索缺失，而且它几乎是“塔”，也就是说，当你在集合族中选择两个集合时，其中一个集合几乎包含在另一个集合中。

现在我们要求，具有性质P的族的最小可能大小，我们称之为

类似地，具有性质T的族的最小可能基数为

它们与上图中出现的p和t相同。

这些基数已经存在很长时间了。人们似乎对我们可以解决它们之间的关系失去了信心，因为这个领域里的很多东西都是独立于标准数学公理的，甚至证明这种独立性对于剩下的问题来说也变得越来越难。如果有什么不同的话，很多人（包括Shelah）都期望p＜t。

很容易看出p≤t，因为具有性质T的族肯定具有性质P。

早在1934年，Hausdorff就证明了

这意味着没有可数族可以有性质P，所以这样一个族的最小可能基数必须是不可数的。Rothberger在1948年证明，如果

那么

但此后几乎70年都没有发生实质性的进展，直到Malliaris和Shelah证明了，在任何条件下都有：

不管它们的值可能是什么假设，也不管任何基本的公理问题。这些基数是相同的。