为了证明格拉姆-施密特正交化方法可以产生向量空间$V$的一组标准正交基，我们可以按照以下步骤进行推导：

假设$V$是一个有限维向量空间，并且{v1,v2,…,vn}是$V$中的一组线性无关的向量。

第一步，我们应用格拉姆-施密特正交化方法的第一步，将v1单位化，得到q1=∥v1∥v1。显然，q1是单位向量，即∥q1∥=1。

第二步，对于$k=2,3,\dots ,n$，我们假设已经得到了单位正交向量组{q1,q2,…,qk−1}。接下来，我们按照格拉姆-施密特正交化方法，计算vk在q1,q2,…,qk−1上的投影，并从vk中减去这个投影，得到uk=vk−∑i=1k−1⟨qi,qi⟩⟨vk,qi⟩qi。由于q1,q2,…,qk−1是正交的单位向量，所以⟨qi,qi⟩=1，因此上式可以简化为uk=vk−∑i=1k−1⟨vk,qi⟩qi。

第三步，由于uk是vk与q1,q2,…,qk−1所张成子空间的正交补中的向量，因此uk与q1,q2,…,qk−1正交。然后，我们将uk单位化，得到qk=∥uk∥uk。

第四步，由于q1,q2,…,qn都是单位向量，并且它们两两正交（这是由格拉姆-施密特正交化方法的构造保证的），因此{q1,q2,…,qn}是$V$的一组标准正交向量组。

第五步，由于{v1,v2,…,vn}是$V$的一组线性无关的向量，并且格拉姆-施密特正交化方法没有改变这些向量的线性关系（即，如果∑i=1ncivi=0，那么∑i=1nciqi=0），因此{q1,q2,…,qn}也是$V$的一组线性无关的向量。

第六步，由于{q1,q2,…,qn}是$V$的一组标准正交且线性无关的向量，根据向量空间的基的定义，它们构成$V$的一组标准正交基。

综上，我们证明了格拉姆-施密特正交化方法可以产生向量空间$V$的一组标准正交基。