微积分大门的高门槛

恩格斯说过：在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样，被看作是人类精神的最高胜利了。

确实，微积分学是前人留给我们的科学文化遗产中最珍贵的瑰宝之一。许多用算术、几何与代数方法无法解决的数学问题，都被微积分摧枯拉朽般地征服了。

当牛顿创立微积分时，这一崭新的强有力的数学方法的基础是极不完善的。微积分方法的灵魂是“无穷小”。那么，牛顿是怎样把“无穷小”作为道具，进行精彩表演的呢？

牛顿是从研究变速运动物体的速度计算问题来引入无穷小的。

图源：李轻舟《德尔斐的囚徒》

比方说，一个小球从空中下落，越落越快，它的速度时时在变化。经过t秒钟，它下落的距离是

S(t)=½gt² (g≈9.8m/s²)

这个式子叫做小球的运动方程式。知道了运动方程式，如何计算小球在每个时刻t的运动速度呢？

从时刻t到时刻t+h，小球走过的距离是容易算出来的，就是

S(t+h)-S(t)=½g(t+h)²-½gt²

把这段距离用这段时间h去除，便算出了在时间区间[t,t+h]内小球的平均速度：

然后让h=0，就得到了小球在时刻t的瞬时速度v(t)=gt。

推理进行得似乎很顺利，但是我们细心检查一下，就会发现一个逻辑上的漏洞：

在推导(1·1)式时，要用h作分母，所以必须假定h≠0。但为了得到时刻t的瞬时速度，又必须让h=0。那我们怎么知道(1·1)式在h=0时成不成立呢？

牛顿当然看到了这个逻辑上的漏洞，于是他请“无穷小”来帮忙。他用小写希腊字母“ο”代替h，这个“ο”就是无穷小，于是(1·1)式被改写成：

牛顿说，“ο”很小很小，比任何正数都小，但它不是0，因此可以做分母，来完成(1·2)式前一部分的推导；又因为它比任何正数都小，所以它可以忽略不计，这又完成了(1·2)式后一部分的推导。

用这种办法，牛顿和他同时代的数学家们取得了辉煌的成就，解决了大量有实际意义的问题。

但是，对“无穷小”的攻击与嘲讽，依然如暴风雨般向初生的微积分袭来。人们问：这个“ο”究竟是什么？它到底是不是0？如果是0，就不能当分母；如果不是0，就不能任意略去！其中攻击得最激烈的，要算18世纪英国的贝克莱主教了。1734年，他发表了一篇题为《分析学者——致一个不信神的数学家》的长文，尖锐地指出“无穷小是什么”这个切中要害的问题。他尖酸刻薄地把无穷小的比值dy/dx叫做“消失了的量的鬼魂”，并且质问数学家：“既然相信这些量的鬼魂，又有什么理由不相信上帝呢？”(不信神的数学家指的是英国天文学家、数学家埃德蒙·哈雷(1656～1742)，哈雷彗星用他的名字命名)

此后很长时期，数学家们都无法在“无穷小”这个问题上自圆其说，但他们坚信微积分方法的正确性。因为用这种方法能解决大量的问题，并且总能得到正确的结论。于是他们在不稳固的逻辑基础上大兴土木，盖起了崭新的数学宫殿。

但基础毕竟是要巩固的。直到19世纪，经过一批数学大师——柯西、狄利克雷、波尔查诺、阿贝尔、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人的努力，实数理论终于建立起来了。以此为基础，极限理论也终于建立起来了，这为微积分大厦提供了坚实的基础。

从此，不但数学家和理工科学生要学习微积分，就连许多文科生甚至中学生，也必须学点微积分了。

没有微积分的基础知识，我们对任何一门科技专业都无法问津。

微积分，这又是前人留下的一份珍贵遗产，而且是我们必须继承的遗产。

继承这份遗产，就得先学习极限理论，教学中的困难也就同时出现了。

如何处理这个难点，目前大体上有3种办法：

(1)干脆不讲严格的极限理论，只要求学生会求导数，算积分。

(2)不惜花费学时，让学生学好严格的极限理论，打好数学基础。

(3)先让学生直观地掌握极限概念及运算法则，以及求微分和积分的方法，后面再补上极限理论这一课。

这里我想提出第四种方案：改造极限理论的表达方法，使它变得简单易学，又丝毫无损它的严格性。

19世纪的数学大师们，是怎样用“极限”概念巩固微积分的逻辑基础的呢？

我们再来回顾一下引起非议的(1·1)式与(1·2)式吧。在(1·1)式中，我们不让h直截了当地等于0。这样，无论它多么小，总有资格当分母。所以，对每个h≠0，ūₕ总是无可非议的。(由于打字困难，故把大写字母V替换成u，请读者注意)

当h越来越接近0时，ūₕ就越来越接近一个数gt。于是，“在h趋于0的过程中，ūₕ以gt为极限”。用记号表示，就是

这就避开了h=0的难点。

但这只是极限过程的直观描述，究竟什么叫做“越来越接近”，在数学上是含糊不清的。数学家无法用这种不严格的描述，来进行关于极限的严格逻辑推理。

柯西

极限概念的严格定义，应归功于19世纪的法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯。他们提出了一套极限概念：

函数极限的概念

设函数F(x)在x₀附近有定义(在x₀这一点可能没有定义)，如果存在一个数a，使得对任给的正数ε>0，总有δ>0，使0<|x-x₀|<δ时，总有

|F(x)-a|<ε

我们就说：当x趋于x₀时，F(x)趋于a，记作

也就是说，当x趋于x₀时，F(x)以a为极限。

数列极限的概念

设a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...是无穷数列。如果存在一个数a，使得对任给的正数ε>0，总有N>0，使n≥N时总有

|aₙ-a|<ε

就说：当n趋于正无穷时，数列aₙ趋于a，或说数列aₙ以a为极限。记作

或aₙ→a (n→+∞)

在这些定义中，用到了“ε”这个希腊字母，所以叫做“ε-语言”。用“ε-语言”讲述极限概念，可以表述得十分严格。靠这个小小的“ε-”，就可以说清什么是无穷小，什么是极限。

但是，用“ε-语言”定义极限，逻辑结构显得相当复杂。如果把数列极限的概念用数理逻辑的符号表示，就是

“=df”读作“定义为”；“∃”读作“存在”；“∀”读作“任意的”。

这里包含了4个逻辑层次。这是学生们从小学到高中从来没有遇到过的逻辑结构如此复杂的定义。

一百多年来，“ε-语言”始终占据着微积分的课堂。要真正掌握微积分的原理，就不得不过“ε-语言”这一关。但这一关，不仅使一般理工科学生望而生畏，就是数学专业，也把它当做教学上的重点与难点。极限的“ε-语言”，既是打开微积分宝库的钥匙，又是阻拦人们获取宝库珍宝的关卡！美国M·斯皮瓦克在其所编的有名的《微积分》教材中甚至无可奈何地说：“像背一首诗那样把它背下来！这样做，至少比把它说错来得强。”

能不能把极限的基本理论讲得更容易接受一些，更直观通俗一些呢？

科普工作者为此付出过努力，然而当摒弃了“ε-语言”之后，由于追求通俗易懂，往往也就失去了数学的严格性。这样，许多重要的定理就无法证明。没有证明，知其然而不知其所以然，数学几乎就不再是数学了。正如G·波利亚谈到工科学生的微积分教学时所说:“他们没有受过弄懂‘ε-’证明的训练......教给他们的微积分规则就像是从天上掉下来的、硬塞给他们的教条......”

人们似乎已形成了一种认识：不使用“ε-语言”，就谈不上严格地讲授微积分。

实际情形是否真的如此呢？

也许，微积分中的“ε-语言”，会像方块字、十进制、欧几里得的几何体系一样，并非不可代替。

让我们试试看，能不能用更加简单明快的方法，同样严格地讲述无穷小和极限概念。

以下略。

本文节选自张景中《从数学教育到教育数学》第七章。(中国少年儿童出版社2005年1月第一版)

微积分从创立开始就存在严格性的问题。受到时代的局限，牛顿和莱布尼茨都处理不好极限概念，引发了第二次数学危机。直到1821年，法国数学家柯西发表了《分析教程》，建立了极限理论和提出一系列关于极限的定理，第二次数学危机落下了帷幕。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。