粒子物理学的标准模型可以说是物理学史上最成功的理论。它以其他科学分支无法匹敌的数值精度预测实验结果，而且几乎总是如此。这个理论被封装在一个称为标准模型拉格朗日量的单一方程中。

它可能是物理学中第二著名的方程，仅次于著名的E=mc^2。质能之所以受欢迎，是因为它简洁而优雅。但是标准模型拉格朗日量，是个“庞然大物”。然而，标准模型比质能方程更重要。它代表了我们对整个亚原子世界的最佳理解。

首先，让我们回顾一下标准模型是如何开始的。其中一个最重要的创立见解是自然对称性产生了基本力。规范不变性表示物理定律不应该关心世界上某些属性是如何被定义或测量的。

规范不变性是一个关键的物理原理，尤其在量子场论和粒子物理学中具有重要地位。它表示物理系统在特定的连续对称变换下保持不变，这种对称性常出现在描述基本相互作用的规范理论中。规范不变性要求物理定律在特定的规范变换下保持不变，如电磁学中的麦克斯韦方程。它与守恒定律密切相关，因为根据诺特定理，每个连续对称性都对应一个守恒量，如电荷。规范不变性在描述强力、弱力和电磁力方面发挥着核心作用，帮助我们理解和描述物质的基本性质。

例如，如果我们坚持认为量子波函数的相位是根本无法测量的，那么我们需要在薛定谔方程

中添加一个项以确保这一点。那个项就是电磁场。因此，电磁场可以解释为宇宙具有这种特殊而简单的对称性——我们称之为U(1)对称性。

在粒子物理学中，U(1)对称性在描述电磁相互作用时具有重要作用。它是规范对称性的一个例子，规范对称性是量子场论和粒子物理学的基本原理。通过引入一个与U(1)对称性相联系的规范场（电磁场），可以描述电磁相互作用。这导致了电磁学的基本定律，如麦克斯韦方程。U(1)对称性的破缺与电荷守恒定律密切相关。

这个令人难以置信的成功促使了在接下来的几十年里许多物理学家试图用规范对称性来解释自然的其他力。他们成功了。弱相互作用源于稍微复杂一些的SU(2)对称性，而强相互作用则是更复杂的SU(3)的结果。这些对称性也来源于波函数可以以不同的方式扭曲，而对自然规律没有影响。只是不那么直接地说究竟是什么被扭曲了，就像U(1)中的相位不变性一样。

所有自然力都来自相同的基本机机制（对称性）是一个很好的想法。

你可能注意到我跳过了引力。物理学家仍在研究这个问题，尽管它可能与对称性无关。

但是，如何得到描述力行为的实际方程呢？又如何将它们全部包含在一个被称为标准模型拉格朗日量的方程中呢？关键在于这个拉格朗日量，所以让我们来谈谈它。

这一切都是因为物理学中一个非常强大的概念，即最小作用原理（Principle ofLeast Action）。它用于描述物体在一定时间内的运动。这个原理表明，一个物体的运动轨迹是使作用量（Action）取最小值的轨迹。作用量是一个数学量，它由物体沿着特定路径所经历的拉格朗日量（Lagrangian）在时间上的积分得到。这种趋势可以用来推测几乎任何过程的发展——无论我们是计算一个球在空中行进的路径，还是计算两个量子粒子相互作用的概率。

拉格朗日量是一个描述物体运动的函数，通常表示为物体的动能减去势能（L = T - V）。对于给定的初始和终止条件，物体的实际运动路径就是使作用量最小化的路径。如果我们将一个系统的拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，

得到的结果将是描述该系统随时间变化和运动的方程。还有其他方法可以得到这些运动方程，但拉格朗日量之所以特别强大，是因为它尊重对称性。通过将最小作用原理应用于具有连续对称性的拉格朗日量，可以揭示守恒量（如能量或动量）的存在。这就是诺特定理。

所以，找出具有我们感兴趣的对称性的波函数的拉格朗日量似乎是个好主意。这正是标准模型拉格朗日量所做的事情。需要指出的是，这在技术上并不是一个拉格朗日量，而是一个拉格朗日密度。

为了得到描述某一体积内粒子行为的真正拉格朗日量，我们必须在该体积上加总无穷多个拉格朗日密度。尽管在实践中，大家都把拉格朗日密度称为“拉格朗日量”。

标准模型拉格朗日量是复杂的。

它有几个不同的项，每个项都解释了物质粒子和力粒子之间不同方式的相互作用。每个项实际上都是其他许多内容的缩写。在深入了解所有这些意味着什么之前，让我们先了解它需要描述的内容——即标准模型粒子及它们之间的相互作用。我提到的对称性使粒子可以有两种不同类型的自旋。

粒子可以具有整数倍的自旋，如1、2或3，甚至0，或者具有半整数倍的自旋，如1/2、3/2或5/2。

事实证明，自旋决定了粒子可能最基本的性质——它是代表物质还是代表力。具有半整数自旋的粒子被称为费米子，它们实际上就是物质，构成了我们周围的所有东西。电子、夸克、中微子等都只是不同类型的费米子。

左，玻色子；右，费米子

同时，具有整数自旋的粒子被称为玻色子。它们根据每种力的对称性传递能量和动量。标准模型拉格朗日量的某些部分涉及玻色子，其他部分涉及费米子，还有其他部分（也许是最重要的部分）涉及两者之间的相互作用。现在让我们来看看标准模型拉格朗日量，了解它是关于什么的。首先，有这个带有两个F的项，这被称为动力学项，它告诉我们玻色子的行为以及它们如何相互作用。

这描述了一个完全没有物质的宇宙。F实际上是三个量子力之间单独相互作用的简写。首先有光子场，通常用大写的A 表示，这是保留电磁 U(1) 对称性的场，光子的动力学项由 A 场的导数构成。换句话说，这就像随着空间和时间变化的光子的能量，对于我们将要在这里看到的所有导数都是如此，

它们类似于物体在空间和时间的每个方向上的动能。

这就是这些符号的来源。

一个方向上场的动能可能取决于另一个方向上发生的事情，这意味着我们需要在每个方向上对场求很多导数，

我们只是写下这些符号，首先是 x，然后是 y，然后是 z，然后是时间 t。指数在这里将成为一个永恒的主题。每当你看到它们，意味着无论是根据时空的维度，还是根据电荷的数量，不同粒子的数量，或者类似的事情，都必须重复多次。

接下来，我们为其他两种力的场做类似的事情，我们还需要它们在每个可能的方向上的动能。只不过，如果两个光子靠近，它们会互相穿过；但如果两个胶子靠近，它们会相互作用。我们需要一个额外的项来描述这种相互作用的势能，

将其加到动力学项上。在这里我们看到了与经典拉格朗日量的联系，即动能和势能。你在这里看到的许多指数来自 SU(3) 的复杂对称性，并考虑到了所有不同类型的胶子。弱力的玻色子也得到了一个类似的项，

尽管其 SU(2) 对称性导致了不同的行为。弱力还有一个看起来很像电磁力的第二动力学项，

这是弱力和电磁力曾经是同一种力的组成部分的结果。这些复杂的动力学项在矩阵乘法中相乘，因为这使它们转化为适当的能量单位——或者类似于能量的东西——因为这就是拉格朗日量所需要的。所有这些动力学项用 F 总结，表示玻色子的运动和它们之间的相互作用。

让我们通过引入一些物质来使宇宙更有趣。这就是拉格朗日量的第二项所代表的。

ψ（psi）是费米子场的波函数。严格地说，我们目前已发现的12种费米子有12个场，但是它们又被压缩成一个符号，

让我们看看这个奇怪的像D的东西，

斜杠是理查德·费曼发明的简写。D本身由两部分组成，

第一部分是一个导数，它告诉我们场随着变化的能量；第二个部分是玻色子场的部分，它告诉我们费米子将如何与保持自然对称性的场相互作用。这部分告诉我们物质和力是如何相互作用的。带有电磁场的部分相当于为了确保相位不变而加到薛定谔方程中的那一部分。现在我们还要为其他场添加这些部分，

在这里，每个场前面都有一个新符号，表示该场与之相互作用的电荷：电荷、同位旋、超荷、色荷。对称性越复杂，就需要越多的指数。此外，与电荷相邻的是耦合常数，表示每次相互作用的强度。

这里我们看到了一个 "h.c." 的东西，非常恐怖的东西，它有无法测量的粒子的幽灵，还有无法理解的无穷大。但事实证明，如果你添加一个物质项的副本，但是在每个虚数前面切换符号，所有有问题的幽灵都会抵消掉。这个过程听起来有点生硬。最好有一个没有幽灵的拉格朗日量，也许我们会有。但在那之前，这个过程给出了一个描述自然非常好的方程。顺便说一下，h.c. 代表厄米共轭，这是翻转虚部符号的过程。

到目前为止，拉格朗日量描述的粒子是无质量的。要添加质量，我们需要希格斯场——这就是拉格朗日量剩下的部分。

这个项类似于前面的 - 费米子与玻色子场相互作用，但现在是希格斯场，由这个Φ表示。y 是一个矩阵，

包含每种不同费米子的质量的平方。这个方程实际上并没有预测粒子的质量——这仍然是一个未解决的问题。相反，我们必须通过实验测量这些质量，并亲手将它们写入这个矩阵中。这里还有另一个 "h.c."，但这次厄米共轭告诉我们反物质是如何从希格斯场获得质量的，就我们所知，它与普通物质非常相似。

下面快速浏览拉格朗日量的其余部分。还有一个这样的导数D，

现在应用于希格斯场。它告诉我们该场在时空中如何变化，以及它如何与弱力的质量大的玻色子相互作用。最后，最后一项是关于希格斯场的势能，

这就像其他玻色子的动能项。希格斯得到了与其他所有项分开的所有自己的项，因为它的特殊和奇怪。事实上，这一项描述了希格斯玻色子本身。那个粒子是标准模型的最后一个预测被证实的，那是在10年前的大型强子对撞机上发生的。希格斯玻色子的发现“完成了”标准模型，就像我们完成了标准模型拉格朗日量一样。

现在，让我们看看完整的拉格朗日量，

将粒子波函数放入正确的指数中并包括正确的质量，你就可以计算宇宙中任何已知粒子的行为。注意，我说的是“已知粒子”。可能有未知的粒子没有被标准模型或其拉格朗日量所涵盖。事实上，很可能有，例如构成暗物质的东西。还有其他谜团不能解释。它没有告诉我们自然是如何选择不同粒子质量的，或者选择耦合强度，比如精细结构常数。它也无法解释暗能量或物质-反物质不平衡等问题。

尽管如此，标准模型拉格朗日量对于物理学是一个惊人的胜利。它以真正惊人的精度预测了亚原子世界的行为，物理学家很难找到它失效的情况。