当我们翻开数学史的长卷，不禁慨叹人类前行者们所跋涉的路途是何等的伟大而多艰。
所经历的“三次数学危机”，过程更是几经坎坷，最终浴火重生，重放光芒。
这一过程到底是怎么回事呢？还得从“毕达哥拉斯学派”的“万物皆数（指整数）”说起。
我们知道，现代意义下作为“演绎系统”的“纯粹数学”来源于古希腊的“毕达哥拉斯学派”。他们认为“万物皆数（指整数）”。
证明“勾股定理”是他们在数学历上的一项重大发现。但他们的思维也被“勾股定理”所限制：他们认为宇宙间的一切现象都能归结为“整数”或“整数之比”。
在思维的囚笼中，“毕达哥拉斯学派”变得自大且疯狂。
他们将“万物皆数（指整数）”视为学派的信条，凡是违背这个信条的门徒，将被处死。
然而，学派的一位名叫希帕索斯的门徒发现了一个重要问题：一些“直角三角形”的“三边之比”不能用“整数”来表达，也就是说，在“勾股定理”中，“勾长”或“股长”与“弦长”是“不可通约”的。
追求真理的希帕索斯将这个重大的发现公之于众，引发了“第一次数学危机”，危机解决之后，填充了数系中“无理数”的空白，推动了数学的进一步发展。
但不幸的是，希帕索斯却因为违背学派的信条而被抛入大海致死。
“第一次数学危机”导致了“毕达哥拉斯学派”的信条“万物皆数（指整数）”彻底崩溃，因而发源于“毕达哥拉斯学派”的“数系”研究与扩充也陷入了停顿，这一停顿，就是上千年之久。直到牛顿和莱布尼茨分别创立微积分之后，人们才再次掀起对“连续统”等实数理论研究的高潮。
因为人们认为，通过研究“数系”得出来的数学结论，有可能遗漏像“根号2”这样如此重要的“无理数系”的存在。
由于“根号2”是直接通过“几何学”得到的，因而人们将对“数系”的研究热情转移到了“几何学”。
因此，人们虽然发现了新的“无理数系”，却没有进一步乘胜追击。
这种“重几何轻数系”的研究态度直到上千年以后“微积分”的诞生才得以获得重新审视。
从这个意义上来说，“第一次数学危机”导致的最重要的结果是，直接推动了几何学的发展，催生出了史诗级巨著《几何原本》。
大约在公元前300年，欧几里德比较系统地总结了古代劳动人民长期积累的“几何知识”，把人们公认的一些事例归纳成“定义”和“公理”，用它来研究“图形的性质”，写成了《几何原本》一书。
《几何原本》提出了“5个公设”和“5个公理”，公理化方法的建立具有“分析”、“归纳”和“总结”数学知识的作用，能把分散的、杂乱的、支离片段的“几何知识”整理成为一门完整的、严密的、系统的科学体系。
《几何原本》即从少数几个“公理”出发，由简到繁地推演出460多个“命题”，建立起人类史上第一个完整的“公理演绎体系”。在“几何学发展史”上具有划时代的意义。
爱因斯坦曾精辟地总结道：“一个人初次接触《几何原本》，如果不曾为它而感到惊叹，那他不可能成为一个理论科学研究者。”
明代著名科学家、政治家徐光启说：“凡能精通此书的，没有什么事不可精的。”，由此可见《几何原本》的重要性。
《几何原本》为了避免像发现“根号2”这样的重大的遗漏，欧几里德采用在生活中显而易见的几何现象作为公理，进行层层推演，构建成了我们今天看到的庞大而完备的“几何公理化体系”。
这一“公理化体系”对后世产生了深远的影响，“第三次数学危机”发生后，也是将“集合论”置于一个“公理化体系”之中才得到解决。
而且，另一部由牛顿编写的史诗级巨著《自然哲学的数学原理》完全按照这一“公理化体系”构建而成。
年轻时的牛顿由于几何学知识薄弱而受到了考官的批评，他买来了《几何原本》进行深入的学习与研究，对《自然哲学的数学原理》的写作方式和最终成功有着直接而紧密的关系。
而《几何原本》的“公理化体系”在《自然哲学的数学原理》中的使用，无疑是牛顿成功完成著作的重要因素。
由此可见，牛顿的《自然哲学的数学原理》得益于“第一次数学危机”被解决之后所得到的丰硕成果。
今天我们所见到的现代世界的科学，在很大程度上是由《自然哲学的数学原理》所塑造的。爱因斯坦曾高度评价道：“牛顿的成就至今仍是所有理论物理学思想中最为宏伟的。”
不过，任何伟大的作品在创建之初也并不完美，《自然哲学的数学原理》中最为核心的基础“微积分”底层逻辑的不完整，导致了“第二次数学危机”的发生。
而导致“第一次和第二次数学危机”发生的问题，事实上是同一个问题，即“无穷”问题。
在“第一次数学危机”中，新发现的“根号2”隐含了一个“无穷过程”：可以进行无穷无尽的约分。
在“第二次数学危机”中，其核心直指动态的“无穷过程”——“极限”。将“无穷小”建立在了“有限”运算的基础上。
在“第三次数学危机”中，如果没有对“无穷集合”的承认和研究，就不会产生一系的列悖论。
“数学危机”是数学在发展中种种矛盾，数学中有大大小小的许多矛盾，比如“可约”与“不可约”、“有穷”与“无穷”等等。
这些矛盾的产生是“数学危机”的根源。
在整个“数学发展”的历史上，贯穿着“矛盾”的产生与解决。
每当“矛盾”激化到涉及整个数学的“基础”时，就产生“数学危机”。
每当“数学危机”解决后，反过来推动了数学带来了生机勃勃的长足发展。
