纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）是流体力学中的基本方程，描述了粘性流体的运动。这组方程由法国科学家克劳德·路易·马里·纳维埃和英国科学家乔治·斯托克斯在19世纪初独立推导出来，可以看作是欧拉方程在考虑粘性效应后的延伸。

欧拉方程是描述理想流体（即没有粘性的流体）运动的基本的方程，而纳维-斯托克斯方程则是描述有粘性的流体运动的基本方程，以下简记为N-S方程。这些方程在科学和工程上都是重要的，然而人们对它们的了解还很不够，它们是对数学的重大挑战。

为了描述这些方程，我们在欧几里得空间R^d中进行研究，这里d表示维数，是2或者3。设在点x=(x₁，…，xd)∈R^d处，以及时间t∈R时刻，流体具有速度向量

流体的压强则是

欧拉方程就是对于所有(x，t)，

而N-S方程则是对于所有(x，t)，

这里ν>0是一个摩擦系数，称为流体的“粘性”。

本文中限于讨论不可压缩流体，就是说，除了要求适合方程(1)或(2)以外，还要求对于一切(x，t)适合

欧拉方程和N-S方程只不过就是把牛顿定律F= ma应用于流体的无穷小部分而已。事实上，很容易看到向量

就是流体的微元在位置x时刻t所经历的加速度。

在欧拉方程中，牛顿运动定律F= ma里的力F完全来自压强梯度，举例来说，如果压强随高度增加，则负梯度

指向下方，所以有一个净力驱使流体向下运动)，但在N-S方程(2)中还有一个附加项

来自摩擦力。

N-S方程在许多各种各样的情况下都与对实际流体进行的实验十分符合。因为流体是很重要的，所以N-S方程也是很重要的。

欧拉方程只不过是N-S方程在v=0时的极限情况，但是我们将会看到，二者的解的性态很不相同，哪怕是ν很小时也是。

我们想要了解在初始条件，即对于所有x∈R^d，

下，欧拉方程和(3)的解或者N-S方程和(3)的解，这里u⁰(x)是已给的初速度。为

了与(3)式相容，假设对于所有x∈R^4，

还有为了避免在物理上不合理的情况，例如无穷能量，还假设当

u⁰(x)以及具有固定的t的u(r，t)都“足够快”地趋于零。这里不解释“足够快”的确切意义是什么，但是从现在起就假设只讨论这种急速衰减的速度。

物理学家和工程师想要知道怎样有效而又快速地计算N-S方程(2)和(4)的解，并理解这些解的性态。数学家首先要问的是是否有解存在，如果有，又是否只有一个解。虽然欧拉方程已经有了300年的历史，N-S方程的历史也接近了200年，专家们对于N-S方程或者欧拉方程的解是否对于所有时间都存在，或者会发生“破裂"，仍然没有共识。有严格证明支持的肯定的答案似乎还很遥远。

让我们把关于欧拉方程和N-S方程的“破裂问题”讲得更明确一点。方程(1)-(3)涉及了u(x，t)的一阶和二阶导数。假设(4)中的初始速度u⁰(x)具有一切阶数的导数

而且当x趋于无穷时，它们都“足够快”地趋于零，这些都是很自然的。于是我们要问，是否N-S方程(2)-(4)或者欧拉方程(1)，(3)和(4)对于所有的x∈R^d和t>0都有解u(x，t)和p(x，t)，使得对于所有的x∈R^d和t>0，导数

和

都存在（而且当x趋于无穷时，都“足够快”地趋于零）。具有这种性质的一对u和p称为欧拉方程或N-S方程的“光滑解”。谁也不知道（在3维情况下）这种解是否存在。我们知道有某个依赖于初始速度(4)的正的时刻T=T(u⁰)>0，使得欧拉方程或N-S方程有“光滑解”在x∈R^d，t∈[0，T)中存在。

在2维空间情况，可以取T=+∞，就是说对于2D欧拉或2D N-S不会发生“破裂”。在3维空间的情况，谁也不能排除有这样的可能：对于某个如上所述的T=T(u°)，可以在区域

中找到欧拉方程或N-S方程的解u(r，t)，p(x，t)，它在此区域中光滑，但是有一个导数使得

这将意味着在越过时刻T以后就不会有光滑解了，我们就说3D欧拉或3D N-S在时刻T破裂。说不定对于3D欧拉以及/或者3D N-S真就发生了这样的事情，谁也不知道相信什么才好。

对于3D N-S以及3D欧拉，人们已经做出过不少计算机仿真。纳维-斯托克斯的仿真并没有显示出有破裂的证据，但是这可能只意味着会产生破裂的初速度u⁰极为罕见。3D欧拉的形态可能极为狂野，所以很难判断一项给定的数值研究是否表示发生了破裂。事实上，要完成一项可靠的3D欧拉的数值仿真，是难得出了名的事。

假设会发生破裂，并且研究这时N-S方程或欧拉方程解的性态，这是很有用的。例如设在时刻T<∞对于3D欧拉发生了破裂，Beale， Kato和Majda有一个定理断言，当t→T时“涡度”

会增长得这样快，使得积分

发散。这件事被用来指明某些声称证明了3D欧拉发生了破裂的计算机仿真其实是无效的。现在也知道当t接近一个有限的破裂时刻T时，涡度向量的方向会随着x的变化而狂野地变动。

(5)式的向量ω有很自然的物理意义：它表示在时刻t流体怎样绕着x点旋转。如果在x点处，在时刻t，放一个小涡轮，使它的轴的定向平行于w(x，t)，则这个涡轮会被流体以角速度ω旋转起来。

对于3D N-S，Sverak最近有一个结果说，如果发生了破裂，则压强p(x，t)上下方均为无界。

1930年代，由勒雷首创地提出了一个非常有前途的思想：研究N-S方程的“弱解”。他的思想如下：初看起来，N-S方程(2)和(3)只有当u(x，t)和p(x，t)为充分光滑时才有意义，例如，我们可能希望u对x_j具有2阶导数，因为这种导数出现在(2)式的右方。然而，如果做形式的运算就会发现，(2)和(3)等价于下面的(2')和(3')，而在那里，即令u(x，t)，p(x，t)很粗糙，也是有意义的。让我们先来看一下(2')和(3')是怎样导出来的，然后再来看它们的用处。

起点是以下的观察：R^n上的一个函数F恒等于零当且仅当对于每一个光滑的且在某一紧集合外恒为0的函数θ都有

把这一点说明用于方程(2)和(3)，再作一点形式运算（即分部积分）就知道它们等价于

以及

更准确地说，给定任意的光滑的函数u(x，t)和p(x，t)，方程(2)和(3)成立的充分必要条件是(2')，(3)对于任意光滑而且在R^3×(0，∞)的某个紧集合外恒为0的函数

O₁(x，t)，θ₂(x，t)，θ₃(x，t)和φ(x，t)

均成立。

称函数θ₁(x，t)，θ₂(x，t)，θ₃(x，t)和φ(x，t)为试验函数，而说u和p是3D N-S的弱解。因为在(2')，(3')中，所有的导数都是对于光滑的试验函数取的，所以它们对于很粗糙的函数u(x，t)和p(x，t)仍是有意义的。总结起来，我们有如下的结论：

一对光滑的(u，p)解出了3D N-S当且仅当它们是弱解，然而弱解的思想即令对于粗糙的(u，p)也是有意义的。

我们希望能按以下的步骤来应用弱解：

证明3D N-S在整个R^3×(0，∞)上有适当的弱解存在。

证明3D N-S的任意适当的弱解必定是光滑的。

由此得到结论，在步骤(1)中做出的适当弱解就是3D N-S在整个R^3×(0，∞)上的光滑解。

在这里“适当的”就是指“不太大的”，它的精确定义我们就略过不说了。

上面的计划对于某些有趣的偏微分方程是成功的，但是对于3D N-S，这个计划只部分地实现了，很久以来人们就知道如何构造出3D N-S的适当的弱解，但是其唯一性一直没有得到证明。感谢Sheffer，Lin， Caffarelli， Kohn和Nirenberg等人的工作，现在已经知道了，在一个具有小的分形维数的集合E之外，3D N-S的任一适当的弱解都是光滑的，即必定具有任意阶的导数。特别是E中不会包含曲线。要想排除破裂，就必须证明E是空集合。

对于欧拉方程，弱解仍是有意义的，但是Sheffer和Schnirelman举出的例子表明，它们的性态可能很奇怪。一个2维的流体在开始可能是平静的，后来不受任何外力的作用却突然在一个有界的空间区域里运动起来，然后又恢复平静。对于2D欧拉的弱解，这种行为可能会发生的。

除了上面讲过了的破裂问题以外，纳维-斯托克斯和欧拉方程还会引起一些其他的基本问题。设固定了3D N-S或3D欧拉的初始值u⁰(x)，则在时刻t=0的能量是

对于v≥0，用

来表示以u⁰(x)为初速度，粘性为v的3D N-S的解。假设

在一切时间都存在（至少当v>0时如此）。则在t≥0时，

的能量是

以(1)-(3)为基础作一些初等的运算即得

特别是对于欧拉方程有v=0，因此(6)式给出，能量等于一个常数E_0，而只要解是存在的，它就与时间无关。

现在假设v很小，但不是零。由(6)式自然会猜想，当v很小时，

所以在很长的时间段里几乎是常数。然而数值试验和物理实验都强烈地指出并不如此。相反，似乎存在一个依赖于u⁰但是与v无关的T_0>0，使得流体的初始能量到了时刻T_0至少损失一半，而不论v多么小（当然要大于0）。

如果能够证明或否定这个结论是很重要的。我们需要理解，为什么这么小的粘性会产生如此大的能量耗散。