复数一经诞生就带来了丰富的数学内容，极大地促进了数学的发展。例如勾股数组(国外称为毕达哥拉斯三元数组)属于数论的研究对象之一，本质上来说就是求方程x²+y²=z²的正整数解的问题。一般来说，是用算术基本定理和整除性质的数论知识来求解。令人意外的是，利用复数也能构造出勾股数组。
我们来探究用复数构造勾股数组的方法和原理。
百闻不如一见，用复数巧妙构造勾股数组
举个例子，大家一看就明白了。比如我们选择一个复数z=2+i。
选择复数有什么讲究吗？很简单，复数的代数形式是a+bi，我们选择时注意a和b是互质的正整数，a>b而且a和b的奇偶性不同就可以了。这样构造出来的勾股数组，就是基本勾股数组。由于我们选择复数有无数种可能性，所以，基本勾股数组有无穷多个。而且每个基本勾股数组代表的直角三角形有无穷多个不同相似比的相似三角形，所以，从每个基本勾股数组出发，都可以构造出无穷多个勾股数组(ak，bk，ck，k=1，2，3...)。
第二步是计算z²。这个计算很简单，只要知道i²=-1，初中同学都可以完成。
z²=(2+i)²=(2+i)(2+i)
=4+2i+2i+i²=3+4i
最后一步是计算|z²|，即复数z²的绝对值(或者称为模)。
|z²|=√(3²+4²)=√25=5
于是得到了一个基本勾股数组(3，4，5)。
总结一下：我们第一步选择复数2+i，相当于选择了一个直角三角形，它的两条直角边分别为2和1，这个直角三角形的斜边是不是整数呢？它可能是，也可能不是，用勾股定理算一下就知道了。但是，就算这个斜边是无理数也没有关系，把它平方后得到的一定是整数。所以第二步是计算z²。
第二步完成后，得到的复数的实部和虚部就是我们要求的两条直角边。
第三步计算|z²|，就是求斜边。这样我们就构造出了三元勾股数组。
我们可以选择另外的复数，继续构造勾股数组。比如我们选择3+2i，接下来计算z²。
z²=(3+2i)(3+2i)
=9+6i+6i+4i²=5+12i
最后，计算|z²|。
|z²|=√(5²+12²)=√169=13
于是得到勾股数组(5，12，13)。
现在我们把这种方法一般化。步骤1：选择z=a+bi，(a，b是互质的正整数，且奇偶性不同)；
步骤2：计算z²。
z²=(a+bi)²=(a+bi)(a+bi)
=a²+abi+abi+b²i²
=(a²-b²)+(2ab)i
步骤3：计算|z²|。
图片
或者可以这样计算：
|z²|=|z|²=(a+bi)(a-bi)
=a²-(bi)²=a²+b²
于是我们得到了下面的定理：
二次不定方程x²+y²=z²的全部基本解为
图片
其中a和b是两个互质的正整数，a>b，并且a+b是奇数(即a和b为一奇一偶)。
现在我们介绍关于复数的预备知识，文末最后给出相关证明。
复数的知识概括
16世纪的意大利数学家在研究三次方程的代数解的过程中，虚数在争议声中诞生了。实数和虚数合称为复数。有了虚数，负数不能开平方的问题就解决了。解决办法就是创造出了虚数单位，用字母i表示，并规定：
(1)它的平方等于-1，即i²=-1(√(-1)=±i)；
(2)它可以与实数进行四则运算，原有的加乘运算律仍然成立。
复数：形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数。复数集用字母C表示。
复数a+bi，当b=0时就是实数；当b≠0时叫做虚数；当a=0且b≠0时叫做纯虚数；a与b分别叫做复数a+bi的实部与虚部。
实数集R是复数集C的真子集，即
复平面：任何一个复数z=a+bi都可以由有序实数对(a，b)惟一确定，这样用平面直角坐标系中的点Z(a，b)来表示复数z=a+bi。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
复数集{z|z=a+bi，a，b∈R}与复平面内所有的点的集合{Z|(a，b)，a，b∈R}一一对应。
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
复数的绝对值。我们先回顾一下初中学习的绝对值是怎样定义的：
图片
图中的a是实数。由此定义可知：|17|=17，|-4|=4，并且|0|=0.
绝对值的几何意义是：实数a的绝对值是数轴上表示a的点(从左或右)到原点的距离。实数a(正数或负数)的符号并不重要。
怎样把绝对值的概念从实数拓展到复数？|3+4i|是什么意思？我们不能说3+4i是正数或者负数——这样的描述不适当。两个实数可以比较大小，而两个复数我们只能说它们相等或者不相等，而不能比较大小。对于复数的绝对值有个几何解释：还是利用数形结合思想，把复数表示成复平面内的一个点，复数的绝对值就是这个点到原点的距离。如下图所示：
图片(线段OB=OA²，所以OB一定是整数。另外，熟悉复数乘法的读者知道OA是∠BOX的角平分线)
通过构造直角三角形，利用勾股定理，我们可以算出
|3+4i|=5
把这个具体问题一般化，我们可以得到下面的公式：
图片
上图的公式对实数和复数都适用。(可以把实数看作虚部为0的复数)
复数的绝对值也称为复数的模，记作|z|或|a+bi|。
证明：|z²|=|z|²
证明思路：设z=a+bi，然后求出|z²|=|z|²。
先求|z|²，因为
所以
接下来我们计算z²
z²=(a+bi)(a+bi)=(a²-b²)+(2ab)i
最后，我们计算|z²|
因为|z²|和|z|²都等于a²+b²，所以它们是相等的。证明完毕。
结束语
古希腊数学最重要的数论成就集中反映在两本数学著作中。一本是《几何原本》，另外一本是丢番图的《算术》(公元3世纪)。
欧几里得(公元前330年～公元前275年)的著作《几何原本》共13卷，其中有3卷讲述数论。书中不但讲述了初等数论的基石——算术基本定理：每个大于1的整数均可惟一地表示成有限个质数的乘积，还给出了不定方程x²+y²=z²的全部正整数解。要注意此方程的正整数解有无穷多个。书中利用整数的性质推导出所有正整数解的表达式。
2000多年前古希腊的数论成就，在今天看来仍然让人惊叹。
本文用复数为工具，重走前人路，向古代数学家致敬，用不同的视角审视古老的问题，重新呈现前人发现的定理。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。祝大家国庆节快乐！
