哈代（1877-1947）是一位杰出的数学家，他对数论和数学分析做出了重大贡献。他于1877年出生于英国，以其古怪的性格和对纯数学的偏爱而闻名，他认为追求纯数学应该是为了它本身，而不是为了任何实际应用。尽管成长过程很艰难，哈代还是成为了他那个时代最有影响力的数学家之一，以黎曼ζ函数和质数分布的研究而闻名。

哈代也是一位有天赋的教师，他指导了一些数学领域最杰出的人才，包括斯里尼瓦萨·拉马努金。1940年，在63岁的时候，哈代写了一篇名为《数学家的道歉（A Mathematician’s Apology）》的文章，C.P.斯诺称这是“有史以来或可能会被写出来的关于创造性思维的最美丽的陈述”。

在这篇文章中，哈代表达了他的想法：

我最好在这里谈谈年龄的问题，因为它对数学家来说特别重要。任何数学家都不应该让自己忘记，数学比任何其他艺术或科学更像是年轻人的游戏……例如牛顿，他肯定是世界上最伟大的三位数学家之一。牛顿在50岁时放弃了数学，而且很久以前就失去了对数学的热情。在他四十岁的时候，他毫无疑问地意识到他最伟大的创造时代已经结束了。

他最伟大的思想，微积分和万有引力定律，是在1666年左右产生的，当时他24岁——“在那些日子里，我正处于发明的黄金时期，比以往任何时候都更关注数学和哲学。”他在将近四十岁时才有重大发现（37岁时发现了“椭圆轨道”），但在那之后，他几乎什么也没做，只是打磨和完善。

伽罗瓦死于21岁，阿贝尔死于27岁，拉马努金死于33岁，黎曼死于40岁。有些人在很大岁数的时候才做出了伟大的工作，高斯关于微分几何的伟大回忆录是在他50岁时出版的。我不知道有哪一个数学上的重大进步是由一个年过五十的人提出的。一个数学家在六十岁时可能仍然有足够的能力，但指望他有独创的思想是很难的。

在他的文章中，哈代认为数学是年轻人的游戏，因为这个领域重视创造力，而这些品质往往更多地与年轻人联系在一起。他认为数学家的创造力和生产力通常在40岁之前达到顶峰。因为，随着数学家年龄的增长，他们往往会在思想上变得更加保守，不太愿意冒险，这可能会限制他们做出突破性发现的能力。

相反，年轻的数学家更愿意尝试非传统的思路并愿意冒险，因为他们还没有被既定的思维方式所束缚，同时他们也没有太多的让他们分心的事。此外，他们的知名度相对较低，因为他们仍在尝试证明自己，所以他们更容易去冒险，因为即使失败的话，对他们的声誉的影响也相对较小。

哈代自己在相对年轻的时候就对数学做出了许多重要的贡献。他和拉马努金合作，共同推动了数论领域的发展。在数学分析领域中，哈代提出了许多重要的概念和定理。其中，最重要的就是哈代空间和哈代矩阵。哈代空间是一个函数空间，它包含了所有在一个有限区间内具有一定次数的连续可微性的函数。哈代空间对解析函数和无穷级数的研究起到了重要的作用。而哈代矩阵则是指一种特殊的无穷矩阵，它的元素由一些特殊的函数构成。哈代矩阵在数学分析中也有着重要的应用，尤其是在无穷级数和解析函数理论中。

弗里曼·戴森在1987年拉马努金百年纪念大会上的一次演讲中回忆哈代的思想时说，

我对数学的热爱始于48年前，当时我在英国读高中二年级。我赢得了学校的数学奖，根据规定，我可以选择任何我想要的书来得奖。我选择了哈代和赖特合著的《数论导论》(An Introduction to the Theory of Numbers)。对于一个想要在初级水平上体验真正数学的青少年来说，这是一本精彩的书。这是一部思想清晰、阐述生动的杰作。

几年后，我在剑桥认识了哈代，我问他为什么要花这么多时间和精力来写那本不可思议的书，而不是做严肃的数学研究。他回答说：年轻人应该证明定理，老年人应该写书。

然而，值得注意的是，并非所有数学家都遵循这种模式。历史上有一些数学家的反例，他们在晚年仍然对这一领域做出了重大贡献。例如，

保罗·埃尔德什，他是匈牙利数学家，对图论和数论做出了重要贡献。在他的职业生涯中，他非常多产，发表了1500多篇论文。虽然他在早年最富有成效，但他在晚年仍然对该领域做出了重大贡献。

伯努瓦·曼德布罗特，曼德布罗特是一位出生于波兰的数学家，他因在分形几何方面的研究而闻名。他在30多岁时才开始研究分形几何，但他最著名的发现——曼德布罗特集合，直到他五十多岁时才被发现。

安德鲁·约翰·怀尔斯，怀尔斯是一位英国数学家，他因证明费马大定理而闻名，这是数学中最著名的难题之一。怀尔斯在40多岁时完成了这一壮举，这是他数十年工作的成果。

卡尔·威尔斯特拉斯，一位德国数学家，他以在数学分析方面的工作而闻名，直到37岁才获得数学博士学位。威尔斯特拉斯最重要的贡献之一是他发展了解析函数理论。他证明了任何连续函数都可以被一个多项式任意近似，这被称为Weierstrass近似定理。他一直活跃在数学研究中，直到1897年去世，享年81岁。

张益唐，当他取得第一个数论突破时，他已经58岁了。去年10月，67岁的张益唐解决了朗道-西格尔零猜想——这是数论中一个重要的开放问题，与解决一个更大的问题有关——黎曼猜想。

因此，虽然哈代的说法可能有一定的道理，但它并不适用于每个数学家。数学领域，像任何其他领域一样，重视创造力和创新，无论年龄大小。

哈代的说法也与流动智力和结晶智力的概念有关。流动智力是指抽象思维、解决问题和适应新情况的能力，独立于任何获得的知识或经验，这些都是数学创新研究的关键技能。这种类型的智力通常在更年轻的时候达到顶峰（在十几岁到二十几岁之间），然后随着年龄的增长逐渐下降。

另一方面，结晶智力是指通过教育和经验获得的知识和技能的积累。这种智力倾向于随着年龄的增长而增长。虽然结晶智力对数学研究很重要，但具有高水平流动智力的人更有可能以新的和非常规的方式解决问题。批判性地思考，并产生新的解决方案，这些都是进行创新研究的基本技能。

47岁时，贝多芬告诉西普里亚尼·波特，在长期的创作停滞之后，“他终于学会了作曲”。相比之下，在过去的四十年里，可能没有一个科学家可以自信地说“他们已经学会了如何做研究”。

这也凸显了艺术创造力和科学创造力之间的根本区别，即科学家在其领域中不断成长和成熟的明显困难，而艺术家则可以通过积累结晶性的智力在整个职业生涯中不断发展。