用等价关系解鸡兔同笼

挑战来了。

能否参考毕达哥拉斯定理证明思路，来解决鸡兔同笼问题呢？

看上去毫无关系是吧？

但是请仔细想想。

我们看鸡兔同笼这道题。

鸡兔同笼，共38个头，112只脚，那么鸡有多少只？兔有多少只？

从38个头，我们可以很快理解到，鸡兔一共38只。因为两者都是一个头。

迷雾在于鸡和兔的数量未知、而两者脚数量不一样。

鸡有两只脚、兔有四只脚。

那么这个能观察出什么呢？

一只兔子的脚数量，是鸡的两倍。

在数学史上，高斯观察到数列前后的对称性，快速解出了1+2+3...+n的和。

高手有一种特征和敏感，就是善于在复杂问题中，观察出相对简单、特殊的特征，然后尝试作为突破口。

那么「兔脚是鸡数量的两倍」，是不是可以做文章呢？

回到我们「转化思路」，这个可以如何转化呢？

我们进一步观察兔脚和鸡脚，4和2。

4很有意思，它是一个完全平方数。

完全平方数有什么几何意义呢？正方形面积。

2x2的正方形的面积。

那么2代表什么呢？

2x1的长方形面积。

两个长方形拼起来就成了正方形。

联想：经典的勾股定理的证明，，一种思路就是转化为面积求证。

那么我们是否可以这个脚数转化为面积，这样应该会产生新的题目。

而长方形和正方形，貌似要比鸡兔同笼直观很多。

从这个思路，我们可以产生一道等价的题目：

长方形和正方形一共38个，长方形是1x2，正方形是2x2，总面积为112，请问有多少长方形、多少正方形。

这个我们设定都是正方形，那么112/4=28个。

但是一共是38个，为什么呢？一些正方形分成长方形了呗。

每把一个正方形拆成长方形，面积保持不变，但是会多一个图形。

从28到38，意味着拆了10个正方形。

所以就是20个长方形。

还有18个正方形。

好啦，这道等价的求图形个数的题目，算起来就直观多了。

这样，我们抓住4/2倍数关系，进一步观察发现4的完全平方数性质，从这方面入手（可能联系到勾股定理证明来强化我们的方向思路，当然也可能联想到其它题目，或者没有联想直接干），把「脚的数量」转化成了「图形面积」，把「求动物个数」转化成「求图形个数」，用更直观的方式解决了问题。

顶级高手的特征：跨领域的举一反三融会贯通

这个「把鸡兔同笼转化为几何问题」的解法，是一个大范围跨领域的迁移。

我们把算术问题转化成了几何问题，这是一个大范围迁移。

我们联想到勾股定理的求面积解法，把勾股定理的证明思路迁移到鸡兔同笼这个看上去风牛马不相及的题目上，这也是大范围迁移。

这是一种顶级高手的能力，掌握底层逻辑之后实现跨领域迁移。

这也是为什么高手往往不用刷题型，就很厉害。

没有这种题型的经验，他们可以用你看上去截然不相关的题目中获得的经验来触类旁通。非常善于转化，把一个问题转化为另一个问题，从一个视角转化到另一个视角。

乔布斯说：

创造力只不过是把事物关联在一起而已。如果你问有创造力的人是怎么做出东西来的，如何做成某件事的时候，他们会有一点愧疚。因为他们并没有真正「做」东西，他们只是能「看到」东西。一段时间之后怎么做就会变得非常明显。这是因为他们能把自己的经验和新东西综合起来。因为他们拥有比别人更多的经验，他们对自己的经验想的更多。

但是「题型专家」就不行了。

因为题型专家，总结题型就是靠「表面现象」，例如题目条件的类型、应用模型等等，而并不关注「底层关系和逻辑」。

我上次看到一位家长帮孩子梳理「植树类问题」，从三种基本情况「两边都植树、一边植树、两边都不植」，拓展出10多种变型。

归纳很详细，每种都要做例题。

小朋友也真做了。

妈呀，解题不是这样靠归纳法详细到脚趾头的，这样累死了。

而且家长干了很多活，小朋友也辛苦。

这一章要归纳，下一章还要归纳，要做那么多题。

这是一条苦逼的道路。

不要吃苦，要享福。

死记硬背本来就没把研究和创造力当回事，总想套现象。

表面现象是没办法跨范围迁移的。

只有底层逻辑才是通用的。

所以高手掌握「简化的底层逻辑」，灵活的应用到各个领域；菜鸟刷了无数题，成为了众多「表面题型」的专家，还是很菜。

还有，菜鸟刷题题型都是基于「应试」的，所以离开应试往往毛用都没有；但是「化繁为简」的底层逻辑不光是数学通用、物理通用，对工作和人生往往也是通用的。

这样，以不变应万变，庖丁解牛游刃有余。

总结本文的两张牌和它们的打法：

题目条件多变化多怎么办？

要从变化中寻求不变。

题目做不下去怎么办？

要从不变中创造变化。

用辩证思维指导你的解题，把握「变化与不变」。

关于数学思维的更多内容，可以阅读我写的数学思维入门教材《数学思维就是5种智慧》。

本文作者:数学探案局