最值问题是常考题型，下面用一题多解的方式解析多种解题思路。

题目呈现：已知3x+4y=8，求xy的最大值。

这类题型是可以秒出答案的。如果你仅仅要答案，那么半和平方比上系数的乘积就是你想要的答案。即：8÷2=4，平方得到16；系数的乘积是3×4=12，所以答案是16/12，化简得4/3。

题目的答案不重要，解决问题的能力才是我们孜孜以求的目标。接下来，我们考虑多种方法解题。

解法一：换元法

设3x为4-t，则4y=8-3x=4+t，从而12xy=(4-t)(4+t)=16-t²。

于是，xy=(16/12)-(t²/12)。因为t²≥0，所以xy的最大值是4/3.

当xy取得最大值时，t=0，3x=4y=4，即x=4/3，y=1。

解法二：基本不等式

我们知道，算术平均数大于等于几何平均数。由此可以得到下图所示的解法。

解法三：二次函数

函数思想是一种重要的数学思想。利用二次函数的性质，我们可以得到下图所示的解法。

我们现在探究一下这个问题的几何意义。

建立平面直角坐标系，把已知条件看作一次函数，则函数图像是一条直线，与坐标轴有两个交点，如下图所示。

解题目标是求xy的最大值，即图中所示的直角三角形OAB的内接矩形面积的最大值。

在几何中有一个结论，直角三角形的内接矩形，当一个顶点是直角顶点，而对角顶点恰好是斜边中点时，矩形面积达到最大值。

此时，矩形的两条边在直角边上，另外两条边是三角形的中位线。所以，矩形面积恰好是三角形面积的一半。

根据解析几何的中点坐标公式，可以得到中点M的坐标(两个端点坐标的平均数)，从而得到矩形面积的值。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。